三角形



























三角形

Triangle illustration.svg
三角形


3
頂點
3
施萊夫利符號
{3}(正三角形時)
面積
有各種求面積的公式;
見下文

內角(度)

180°(內角和)

Trikotnik.png

三角形,又稱三邊形,是由三条线段顺次首尾相连,或不共線的三點兩兩連接,所组成的一个闭合的平面图形,是最基本和最少邊的多边形。


一般用大写英语字母A{displaystyle A}AB{displaystyle B}BC{displaystyle C}C为三角形的顶点标号;用小写英语字母a{displaystyle a}ab{displaystyle b}bc{displaystyle c}c表示边;用α{displaystyle alpha }alpha β{displaystyle beta }beta γ{displaystyle gamma }gamma 給角標號,又或者以ABC{displaystyle angle ABC}angle ABC這樣的顶点标号表示。




目录






  • 1 分类


    • 1.1 以角度分類


      • 1.1.1 锐角三角形


      • 1.1.2 钝角三角形


      • 1.1.3 直角三角形




    • 1.2 以邊長分類


      • 1.2.1 不等邊三角形


      • 1.2.2 等邊三角形


      • 1.2.3 等腰三角形


      • 1.2.4 退化三角形






  • 2 勒洛三角形


  • 3 一般性质


    • 3.1 三角不等式


    • 3.2 角度


    • 3.3 畢氏定理


    • 3.4 正弦定理


    • 3.5 餘弦定理




  • 4 全等及相似


    • 4.1 全等三角形


    • 4.2 相似三角形




  • 5 特殊線段


    • 5.1 中线长度


    • 5.2 高线长度


    • 5.3 角平分线长度




  • 6 三角形的心


  • 7 外接圆和内切圆半径


  • 8 面積


    • 8.1 基本公式


    • 8.2 已知兩邊及其夾角


    • 8.3 已知兩角及其夾邊


    • 8.4 已知三邊長


    • 8.5 已知坐标系中三顶点坐标


    • 8.6 已知周界及內切圓或外接圓半徑


    • 8.7 已知兩邊向量




  • 9 半角定理


  • 10 其他三角形有关的定理


  • 11 參考資料


  • 12 參看





分类



以角度分類














锐角三角形

钝角三角形

直角三角形
锐角三角形 钝角三角形 直角三角形


锐角三角形


銳角三角形的所有內角均為銳角(即小於90°)。



钝角三角形


鈍角三角形是其中一角為鈍角(大於90°)的三角形,其余兩角均小於90°。



直角三角形


Right triangle.png

有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」(cathetus),直角所对的边是「斜邊」(hypotenuse);或最長的邊稱為「弦」,底部的一邊稱作「勾」(又作「句」),另一邊稱為「股」。


直角三角形各邊與角度的關係,可以三角比表示。詳見三角函數。



以邊長分類














不等邊三角形

等邊三角形

等腰三角形
不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形


不等邊三角形


三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。



等邊三角形


等邊三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 a{displaystyle a}a ,则其面積公式為 a234{displaystyle {frac {a^{2}{sqrt {3}}}{4}}}{frac {a^{2}{sqrt {3}}}{4}}


等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。



等腰三角形




等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩个角為45度。


等腰三角形是三条边中有两条边相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」,而另一条边被称为「底边」,两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」,它们组成的角被称为「顶角」。


等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。



退化三角形


退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。



勒洛三角形


勒洛三角形(英語:Reuleaux triangle),也譯作萊洛三角形或弧三角形,又被稱為劃粉形[1]或曲邊三角形,是除了圓形以外,最簡單易懂的勒洛多邊形,一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間,使之與這兩平行線相切,則可以做到:無論這個曲線圖如何運動,只要它還是在這兩條平行線內,就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師Franz Reuleaux(英語:Franz Reuleaux)命名。



一般性质



三角不等式


  • 三角边長不等式

三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等,则是退化三角形。

  • 三角內外角不等式

三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。


角度


三角形の内角と外角.png

  • 三角形外角

三角形兩內角之和,等於第三角的外角。

  • 三角形內角和

在歐幾里德平面內,三角形的內角和等於180°。


畢氏定理


  • 勾股定理

勾股定理,又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。设直角三角形的其中一邊c{displaystyle c}c 為斜邊,即 c{displaystyle c}c 的對角 γ=90∘{displaystyle gamma =90^{circ }}gamma =90^{circ } ,則

a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}a^{2}+b^{2}=c^{2}


  • 勾股定理逆定理


勾股定理的逆定理亦成立,即若三角形滿足

a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}a^{2}+b^{2}=c^{2}



γ=90∘{displaystyle gamma =90^{circ }}gamma =90^{circ }




正弦定理



  • 正弦定理:

R{displaystyle R}R 为三角形外接圓半径,則
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R{displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}=2R}{frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}=2R



餘弦定理



  • 餘弦定理:


對於任意三角形:

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha

b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡β{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma




勾股定理是本定理的特殊情况,即当角 α=90∘{displaystyle alpha =90^{circ },}alpha =90^{circ }, 时, cos⁡α=0{displaystyle cos alpha =0}cos alpha =0 ,于是 a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha 化简为 a2=b2+c2{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}a^{2}=b^{2}+c^{2}



全等及相似



全等三角形


三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形。



  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。

  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。

  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。

  • RHS(Right Angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。[1]

  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。


注意,SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)不能保证两个三角形全等,除非該角大於等於90°。



相似三角形



  • AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中兩個角的都對應地相等。(或稱AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角))

  • 三邊成比例(3 sides proportional):各三角形的三條邊的長度都成同一比例。

  • 兩邊成比例且夾角相等(ratio of 2 sides, inc.∠):各三角形的兩條邊之長度都成同一比例,且兩條邊之夾角都對應地相等。



特殊線段


三角形中有著一些特殊線段,是三角形研究的重要對象。




  • 中線(median):三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。


  • 高线(altitude):从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。


  • 角平分线(angle bisector):平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。


  • 垂直平分線(perpendicular bisector):通過三角形一边中点与該边所垂直的线段,又稱中垂线。


以上特殊線段,每個三角形均有三條,且三線共點。



中线长度


设在ΔABC{displaystyle Delta ABC,}{displaystyle Delta ABC,}中,若三边a{displaystyle a}ab{displaystyle b}bc{displaystyle c,}c,的中線分别为ma{displaystyle m_{a}}m_{a}mb{displaystyle m_{b}}m_{b}mc{displaystyle m_{c}}m_{c},则:



ma=12b2+12c2−14a2{displaystyle m_{a}={sqrt {{frac {1}{2}}b^{2}+{frac {1}{2}}c^{2}-{frac {1}{4}}a^{2}}}}{displaystyle m_{a}={sqrt {{frac {1}{2}}b^{2}+{frac {1}{2}}c^{2}-{frac {1}{4}}a^{2}}}}

mb=12a2+12c2−14b2{displaystyle m_{b}={sqrt {{frac {1}{2}}a^{2}+{frac {1}{2}}c^{2}-{frac {1}{4}}b^{2}}}}{displaystyle m_{b}={sqrt {{frac {1}{2}}a^{2}+{frac {1}{2}}c^{2}-{frac {1}{4}}b^{2}}}}

mc=12a2+12b2−14c2{displaystyle m_{c}={sqrt {{frac {1}{2}}a^{2}+{frac {1}{2}}b^{2}-{frac {1}{4}}c^{2}}}}{displaystyle m_{c}={sqrt {{frac {1}{2}}a^{2}+{frac {1}{2}}b^{2}-{frac {1}{4}}c^{2}}}}



高线长度


设在ΔABC{displaystyle Delta ABC,}{displaystyle Delta ABC,}中,連接三个顶点A{displaystyle A}AB{displaystyle B}BC{displaystyle C}C上的高分別记作ha{displaystyle h_{a}}h_{a}hb{displaystyle h_{b}}h_{b}hc{displaystyle h_{c}}h_{c},則:



ha=2s(s−a)(s−b)(s−c)a{displaystyle h_{a}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}h_{a}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}

hb=2s(s−a)(s−b)(s−c)b{displaystyle h_{b}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}}h_{b}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}

hc=2s(s−a)(s−b)(s−c)c{displaystyle h_{c}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}}h_{c}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}


其中 s=a+b+c2{displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}}s={frac {a+b+c}{2}}



角平分线长度


设在ΔABC{displaystyle Delta ABC,}{displaystyle Delta ABC,}中,若三个角A{displaystyle A}AB{displaystyle B}BC{displaystyle C}C的角平分线分别为ta{displaystyle t_{a}}t_{a}tb{displaystyle t_{b}}t_{b}tc{displaystyle t_{c}}t_{c},则:


ta=1b+c(b+c+a)(b+c−a)bc{displaystyle t_{a}={frac {1}{b+c}}{sqrt {left(b+c+aright)left(b+c-aright)bc}}}t_{a}={frac {1}{b+c}}{sqrt {left(b+c+aright)left(b+c-aright)bc}}

tb=1a+c(a+c+b)(a+c−b)ac{displaystyle t_{b}={frac {1}{a+c}}{sqrt {left(a+c+bright)left(a+c-bright)ac}}}t_{b}={frac {1}{a+c}}{sqrt {left(a+c+bright)left(a+c-bright)ac}}

tc=1a+b(a+b+c)(a+b−c)ab{displaystyle t_{c}={frac {1}{a+b}}{sqrt {left(a+b+cright)left(a+b-cright)ab}}}t_{c}={frac {1}{a+b}}{sqrt {left(a+b+cright)left(a+b-cright)ab}}


三角形的心


三角形的內心、外心、垂心及形心稱為三角形的四心,定義如下:

































名称 定义 图示 备注
內心 三个內角的角平分线的交點 三角形の内心.png 該點為三角形內切圓的圓心。
外心 三條邊的中垂線的交點 三角形の外心.png 該點為三角形外接圓的圓心。
垂心 三条高线的交點 三角形の垂心.png  
形心(重心) 三条中线的交點 三角形の重心.png 被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)。

关于三角形的四心,有这样的一首诗:







Triangle.EulerLine.svg













垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能連成一線,且成比例1:2,稱為歐拉線,與九點圓的圓心(紅)四點共線,為垂心和形心線段的中點。


連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:















名称 定义 图示 备注
旁心 外角的角平分线的交點 三角形の傍心.png 有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心。


外接圆和内切圆半径


設外接圆半径為R{displaystyle R}R , 内切圆半径為r{displaystyle r}r ,則:


R=abc(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c){displaystyle R={frac {abc}{sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}}}R={frac {abc}{sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}}

r=(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)2(a+b+c){displaystyle r={frac {sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}{2left(a+b+cright)}}}r={frac {sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}{2left(a+b+cright)}}


面積



基本公式


三角形的面積 A{displaystyle A}A 是底邊 b{displaystyle b}b 與高 h{displaystyle h}h 乘積的一半,即:



A=12bh{displaystyle A={frac {1}{2}}bh}A={frac {1}{2}}bh

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。




已知兩邊及其夾角


a{displaystyle a}a b{displaystyle b}b 為已知的兩邊, γ{displaystyle gamma }gamma 為該兩邊的夾角,則三角形面積是:



A=12absin⁡γ{displaystyle A={frac {1}{2}}absin {gamma }}A={frac {1}{2}}absin {gamma }



已知兩角及其夾邊


β{displaystyle beta }beta γ{displaystyle gamma }gamma 為已知的兩角, a{displaystyle a}a 為該兩角的夾邊,則三角形面積是:



A=a2sin⁡βsin⁡γ2sin⁡){displaystyle A={frac {a^{2}sin beta sin gamma }{2sin(beta +gamma )}}}A={frac {a^{2}sin beta sin gamma }{2sin(beta +gamma )}}



已知三邊長


海伦公式,其表示形式為:



A=s(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle A={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}A={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}

其中 s{displaystyle s}s 等於三角形的半周長,即:


s=a+b+c2{displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}}s={frac {a+b+c}{2}}

秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法


A=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]{displaystyle A={sqrt {{frac {1}{4}}{left[c^{2}a^{2}-left({frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}right]}}}}A={sqrt {{frac {1}{4}}{left[c^{2}a^{2}-left({frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}right]}}}

也有用幂和来表示的公式:


A=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){displaystyle A={frac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}A={frac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:


16⋅A2=−|0a2b21a20c21b2c2011110|{displaystyle 16cdot A^{2}=-{begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0\end{vmatrix}}}16cdot A^{2}=-{begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0\end{vmatrix}}

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設 a≥b≥c{displaystyle ageq bgeq c}ageq bgeq c ,三角形面積為:



A=14[a+(b+c)][c−(a−b)][c+(a−b)][a+(b−c)]{displaystyle A={frac {1}{4}}{sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}}A={frac {1}{4}}{sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}



已知坐标系中三顶点坐标


(x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})}(x_{1},y_{1})(x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})}(x_{2},y_{2})(x3,y3){displaystyle (x_{3},y_{3})}(x_{3},y_{3}) 三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式的絕對值表示:


A=|12|x1y11x2y21x3y31||{displaystyle A=left|{frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}right|}A=left|{frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}right|


若三個頂點設在三維座標系上,即由 (x1,y1,z1){displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}(x_{1},y_{1},z_{1})(x2,y2,z2){displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}(x_{2},y_{2},z_{2})(x3,y3,z3){displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}(x_{3},y_{3},z_{3}) 三个顶点构成三角形,其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和,即:


A=12|x1y11x2y21x3y31|2+|y1z11y2z21y3z31|2+|z1x11z2x21z3x31|2{displaystyle A={frac {1}{2}}{sqrt {{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}^{2}+{begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\y_{2}&z_{2}&1\y_{3}&z_{3}&1end{vmatrix}}^{2}+{begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\z_{2}&x_{2}&1\z_{3}&x_{3}&1end{vmatrix}}^{2}}}}A={frac {1}{2}}{sqrt {{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}^{2}+{begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\y_{2}&z_{2}&1\y_{3}&z_{3}&1end{vmatrix}}^{2}+{begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\z_{2}&x_{2}&1\z_{3}&x_{3}&1end{vmatrix}}^{2}}}


已知周界及內切圓或外接圓半徑


設三角形三邊邊長分別為 a{displaystyle a}ab{displaystyle b}bc{displaystyle c}c ,三角形半周長( a+b+c2{displaystyle {frac {a+b+c}{2}}}{frac {a+b+c}{2}} )為 s{displaystyle s}s ,內切圓半徑為 r{displaystyle r}r,則:


A=sr{displaystyle A=sr}A=sr

若設外接圓半徑為 R{displaystyle R}R ,則:


A=abc4R{displaystyle A={frac {abc}{4R}}}A={frac {abc}{4R}}



已知兩邊向量


設從一角出發,引出兩邊的向量為 a{displaystyle mathbf {a} }mathbf {a} b{displaystyle mathbf {b} }mathbf {b} ,三角形的面積為:


A=12|a×b|{displaystyle A={frac {1}{2}}|mathbf {a} times mathbf {b} |}A={frac {1}{2}}|mathbf {a} times mathbf {b} |



半角定理


在三角形ABC{displaystyle ABC,}ABC,中,三个角的半角的正切和三边有如下关系:


tan⁡A2=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)a+b+cb+c−atan⁡B2=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)a+b+ca+c−btan⁡C2=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)a+b+ca+b−c{displaystyle {begin{aligned}tan {frac {A}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a}}\tan {frac {B}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b}}\tan {frac {C}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c}}\end{aligned}}}{begin{aligned}tan {frac {A}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a}}\tan {frac {B}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b}}\tan {frac {C}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c}}\end{aligned}}



其他三角形有关的定理



  • 外角定理

  • 拿破仑三角形

  • 费马点

  • 欧拉线

  • 梅涅劳斯定理

  • 樞紐定理



參考資料





  1. ^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25




參看


  • 三角學





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