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交错级数审敛法是证明无穷级数收敛的一种方法．该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则．

具有以下形式的级数

∑n=0∞(−1)nan{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!}

其中所有的a_n非负，被称作交错级数．如果当n趋于无穷时，数列a_n的极限存在且等于0，并且每个a_n小于或等于a_n-1（即，数列a_n是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和

∑n=0∞(−1)nan=L{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}=L!}

那么部分和

Sk=∑n=0k(−1)nan{displaystyle S_{k}=sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}!}

逼近L有截断误差

|Sk−L|≤|Sk−Sk−1|=ak{displaystyle left|S_{k}-Lrightvert leq left|S_{k}-S_{k-1}rightvert =a_{k}!}．

证明

我们假设级数具有形式∑n=0∞(−1)nan{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!}．当n{displaystyle n}趋于无穷时，数列an{displaystyle a_{n}}的极限等于0，并且每个 an{displaystyle a_{n}}小于或等于an−1{displaystyle a_{n-1}}（即an{displaystyle a_{n}}是单调递减数列）．^[1]

收敛性证明

给定数列前(2n+1)项的部分和S2n+1=a0+(−a1+a2)+(−a3+a4)+…+(−a2n−1+a2n)−a2n+1{displaystyle S_{2n+1}=a_{0}+left({-a_{1}+a_{2}}right)+left({-a_{3}+a_{4}}right)+ldots +left({-a_{2n-1}+a_{2n}}right)-a_{2n+1}}．由于每个括号内的和非正，并且a2n+1≥0{displaystyle a_{2n+1}geq 0}，那么前 (2n+1)项的部分和不大于a0{displaystyle a_{0}}.

并且每个部分和可写做S2n+1=(a0−a1)+(a2−a3)+…+(a2n−a2n+1){displaystyle S_{2n+1}=left({a_{0}-a_{1}}right)+left({a_{2}-a_{3}}right)+ldots +left({a_{2n}-a_{2n+1}}right)}．每个括号内的和非负．因此，级数S2n+1{displaystyle S_{2n+1}}单调递增：对任何n∈N{displaystyle nin N}均有：S2n+1≤S2n+3{displaystyle S_{2n+1}leq S_{2n+3}}.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数s使得 limn→∞S2n+1=s{displaystyle lim _{nto infty }S_{2n+1}=s}.

由于S2n=S2n+1−a2n+1{displaystyle S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}}并且limn→+∞an=0{displaystyle lim _{nto +infty }a_{n}=0}，那么limn→∞S2n=s{displaystyle lim _{nto infty }S_{2n}=s}．给定数列的和为limn→∞S2n=limn→∞S2n+1=s{displaystyle lim _{nto infty }S_{2n}=lim _{nto infty }S_{2n+1}=s}，其中s{displaystyle s}为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明

在收敛性的证明过程中，我们发现S2n+1{displaystyle S_{2n+1}}是单调递增的．由于S2n=a0+(−a1+a2)+…+(−a2n−1+a2n){displaystyle S_{2n}=a_{0}+left(-a_{1}+a_{2}right)+ldots +left(-a_{2n-1}+a_{2n}right)}，并且括号中的每一项是非正的，这样可知S2n{displaystyle S_{2n}}是单调递减的．由先前的论述，limn→∞S2n=L{displaystyle lim _{nto infty }S_{2n}=L}，因此S2n≥L{displaystyle S_{2n}geq L}．类似的，由于S2n+1{displaystyle S_{2n+1}}是单调递增且收敛到L{displaystyle L}，我们有S2n+1≤L{displaystyle S_{2n+1}leq L}．因此我们有S2n+1≤L≤S2n{displaystyle S_{2n+1}leq Lleq S_{2n}}对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有|L−Sk|=L−Sk≤Sk+1−Sk=ak+1≤ak{displaystyle |L-S_{k}|=L-S_{k}leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}leq a_{k}}，而如果k是偶数我们有|L−Sk|=Sk−L≤Sk−Sk−1=ak{displaystyle |L-S_{k}|=S_{k}-Lleq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}}．

参阅

• 狄利克雷判别法

图书资料

• Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
  

• Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
  

• Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3
  

参考文献

1. 
   ^ Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.