子集






A是B的子集


子集，為某個集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。


若A{displaystyle A}A和B{displaystyle B}B为集合，且A{displaystyle A}A的所有元素都是B的元素，则有：




  • A{displaystyle A}A是B{displaystyle B}B的子集（或称包含于B{displaystyle B}B）；


  • A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}；


  • B{displaystyle B}B是A{displaystyle A}A的父集/超集（或称包含A{displaystyle A}A）；


  • B⊇A{displaystyle Bsupseteq A}{displaystyle Bsupseteq A}.


所有集合B{displaystyle B}B都是其本身的子集。
不等于B{displaystyle B}B的B{displaystyle B}B的子集称为真子集。
若A{displaystyle A}A是B{displaystyle B}B的真子集，则写作A⊊B{displaystyle Asubsetneq B}{displaystyle Asubsetneq B}。
"是……的子集"的关系称为包含。




目录






  • 1 定义


  • 2 符号


  • 3 举例


  • 4 性质


  • 5 參考文獻


  • 6 参见





定义


假设有A{displaystyle A}A和B{displaystyle B}B两个集合，如果A{displaystyle A}A中的每个元素都是B{displaystyle B}B的元素，则：




  • A{displaystyle A}A是B{displaystyle B}B的 子集，记作 A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}

也可以说

  • B{displaystyle B}B是A{displaystyle A}A的 超集，记作 B⊇A{displaystyle Bsupseteq A}{displaystyle Bsupseteq A}



如果A{displaystyle A}A是B{displaystyle B}B的子集，但A{displaystyle A}A不等于B{displaystyle B}B（即B{displaystyle B}B中至少存在一个元素不在A{displaystyle A}A集合中），则：




  • A{displaystyle A}A是B{displaystyle B}B的 真子集，记作 A⊊B{displaystyle Asubsetneq B}{displaystyle Asubsetneq B}

也可以说

  • B{displaystyle B}B是A{displaystyle A}A 的 真超集，记作 B⊋A{displaystyle Bsupsetneq A}{displaystyle Bsupsetneq A}




符号


符号⊆{displaystyle subseteq }subseteq表示任何子集关系，符号⊊{displaystyle subsetneq }subsetneq表示真子集关系。⊂{displaystyle subset }subset也是一个很常見的符号，但其含义容易混淆。


有人用⊂{displaystyle subset }subset和⊃{displaystyle supset }supset 表示任何子集和超集关系，即⊆{displaystyle subseteq }subseteq和⊇{displaystyle supseteq }supseteq所分别代表的含义。[1][2][3]所以在这些作者的文章中，对于任意集合A{displaystyle A}A，A⊂A{displaystyle Asubset A}{displaystyle Asubset A} 始终成立。


也有人用⊂{displaystyle subset }subset和⊃{displaystyle supset }supset 表示真子集和真超集的概念，即⊊{displaystyle subsetneq }subsetneq和⊋{displaystyle supsetneq }{displaystyle supsetneq }所分别代表的含义。[4]:p.6这样⊆{displaystyle subseteq }subseteq和⊂{displaystyle subset }subset就类似于不等符号≤{displaystyle leq }leq和<{displaystyle <}<的关系。例如如果 x≤y{displaystyle xleq y}{displaystyle xleq y}，那么x{displaystyle x}x可能等于y{displaystyle y}y也可能不等于，而如果 x<y{displaystyle x<y}{displaystyle x<y}，那么x{displaystyle x}x就一定不等于y{displaystyle y}y。换用⊂{displaystyle subset }subset表示真子集，如果 A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}，那么A{displaystyle A}A可能等于B{displaystyle B}B也可能不等于，而如果 A⊂B{displaystyle Asubset B}{displaystyle Asubset B}，那么A{displaystyle A}A就一定不等于B{displaystyle B}B。


ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：使用⊆{displaystyle subseteq }subseteq表示子集关系，⊂{displaystyle subset }subset表示真子集关系；或者使用⊂{displaystyle subset }subset表示子集关系，使用⊊{displaystyle subsetneq }subsetneq表示真子集关系。



举例



  • 集合{1,2}{displaystyle left{1,2right}}{displaystyle left{1,2right}}是集合{1,2,3}{displaystyle left{1,2,3right}}{displaystyle left{1,2,3right}}的真子集。


  • 自然数集合是有理数集合的真子集。

  • 集合{x:x{displaystyle {x:x}{displaystyle {x:x}是大于2000的素数}{displaystyle }}}是集合{x:x{displaystyle {x:x}{displaystyle {x:x}是大于1000的奇数}{displaystyle }}}的真子集。

  • 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。


  • 空集，写作 ∅{displaystyle varnothing }varnothing ，是任意集合X{displaystyle X}X的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。



性质


命题1：空集是任意集合的子集。


这个命题说明：包含是一种偏序关系。


命题2：若A,B,C{displaystyle A,B,C}A,B,C是集合，则：



自反性：
  • A⊆A{displaystyle Asubseteq A}{displaystyle Asubseteq A}



反对称性：

  • A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}且B⊆A{displaystyle Bsubseteq A}Bsubseteq A当且仅当A=B{displaystyle A=B}A=B



传递性：
  • 若A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}且B⊆C{displaystyle Bsubseteq C}{displaystyle Bsubseteq C}则A⊆C{displaystyle Asubseteq C}{displaystyle Asubseteq C}


这个命题说明：对任意集合S{displaystyle S}S，S{displaystyle S}S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。


命题3：若A,B,C{displaystyle A,B,C}A,B,C是集合S{displaystyle S}S的子集，则：


存在一个最小元和一个最大元：

  • ∅⊆A⊆S{displaystyle varnothing subseteq Asubseteq S}{displaystyle varnothing subseteq Asubseteq S}（ ∅⊆A{displaystyle varnothing subseteq A}{displaystyle varnothing subseteq A}由命題1給出）


存在并运算：

  • A⊆A∪B{displaystyle Asubseteq Acup B}{displaystyle Asubseteq Acup B}

  • 若A⊆C{displaystyle Asubseteq C}{displaystyle Asubseteq C}且B⊆C{displaystyle Bsubseteq C}{displaystyle Bsubseteq C}则A∪B⊆C{displaystyle Acup Bsubseteq C}{displaystyle Acup Bsubseteq C}



存在交运算：

  • A∩B⊆A{displaystyle Acap Bsubseteq A}{displaystyle Acap Bsubseteq A}

  • 若C⊆A{displaystyle Csubseteq A}{displaystyle Csubseteq A}且C⊆A{displaystyle Csubseteq A}{displaystyle Csubseteq A}则C⊆A∩B{displaystyle Csubseteq Acap B}{displaystyle Csubseteq Acap B}



命题4:对任意两个集合A{displaystyle A}A和B{displaystyle B}B，下列表述等价：



  • A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}

  • A∩B=A{displaystyle Acap B=A}{displaystyle Acap B=A}

  • A∪B=B{displaystyle Acup B=B}{displaystyle Acup B=B}

  • A−B=∅{displaystyle A-B=varnothing }{displaystyle A-B=varnothing }

  • B⊆A′{displaystyle Bsubseteq A'}{displaystyle Bsubseteq A'}


这个命题说明：表述"A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。



參考文獻





  1. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03） 


  2. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07] 


  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14] 


  4. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157 




参见



  • 冪集：某集合的全部子集组成的集合。










































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