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實數（ℝ）包括有理數（ℚ），其中包括整數（ℤ），其中包括自然數（ℕ）

数学上，可以表达为两个整数比的数(ab{displaystyle {frac {a}{b}}}, b≠0{displaystyle bneq 0})被定义为有理数，例如38{displaystyle {frac {3}{8}}}，0.75(可被表达为34{displaystyle {frac {3}{4}}})。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如2{displaystyle {sqrt {2}}}无法用整数比表示。

有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}是无理数。

所有有理数的集合表示为Q，Q+,或Q{displaystyle mathbb {Q} }。定义如下：

Q={mn:m∈Z,n∈Z,n≠0}{displaystyle mathbb {Q} =left{{frac {m}{n}}:min mathbb {Z} ,nin mathbb {Z} ,nneq 0right}}

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。

词源

有理数在希臘文中称為λογος，原意是「成比例的數」。英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名為rational number，直译成汉语即是「可比數」。对应地，無理數则为「不可比數」。

但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《几何原本》，在中國明代，從西方傳入中國，而從中國傳入日本時，出現了錯誤。

明末數學家徐光启和學者利玛窦翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞（“λογος”）譯為“理”，這個“理”指的是“比值”。日本在明治維新以前，歐美數學典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”。後來，日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數”和“無理數”。（文言文中理字没有比值的意思）

當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤。清末中國派留學生到日本，將此名詞傳回中國，以至現在中日兩國都用“有理數”和“無理數”的說法。

可見，由於當年日本學者對中國文言文的理解不到位，才出現了今天的誤譯。^{[1][來源請求]}

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下：

ab+cd=ad+bcbd      ab⋅cd=acbd{displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+bc}{bd}}, {frac {a}{b}}cdot {frac {c}{d}}={frac {ac}{bd}}}

两个有理数ab{displaystyle {frac {a}{b}}}和cd{displaystyle {frac {c}{d}}}相等当且仅当ad=bc{displaystyle ad=bc}

有理数中存在加法和乘法的逆：

−(ab)=−ab        a≠0{displaystyle -left({frac {a}{b}}right)={frac {-a}{b}}, aneq 0}时，(ab)−1=ba{displaystyle left({frac {a}{b}}right)^{-1}={frac {b}{a}}}

古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

57=12+16+121{displaystyle {frac {5}{7}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{21}}}

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上(a,b){displaystyle left(a,bright)}的等价类，这里b,d{displaystyle b,d}不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd){displaystyle left(a,bright)+left(c,dright)=left(ad+bc,bdright)}

(a,b)×(c,d)=(ac,bd){displaystyle left(a,bright)times left(c,dright)=left(ac,bdright)}

为了使24=12{displaystyle {frac {2}{4}}={frac {1}{2}}}，定义等价关系∼{displaystyle sim }如下：

(a,b)∼(c,d) iff ad=bc{displaystyle left(a,bright)sim left(c,dright){mbox{ iff }}ad=bc}

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：Q=Z×(Z−{0})/∼{displaystyle mathbb {Q} =mathbb {Z} times (mathbb {Z} -{0})/sim }。例如：两个对(a,b){displaystyle (a,b)}和(c,d){displaystyle (c,d)}是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

Q上的全序关系可以定义为：

(a,b)≤(c,d){displaystyle left(a,bright)leq left(c,dright)}当且仅当

1. 
   bd>0{displaystyle bd>0}并且ad≤bc{displaystyle adleq bc}
   


2. 
   bd<0{displaystyle bd<0}并且ad≥bc{displaystyle adgeq bc}
   

性质

有理数集是可数的

集合Q{displaystyle mathbb {Q} }，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数Z{displaystyle mathbb {Z} }的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含Q{displaystyle mathbb {Q} }的一个拷贝（即存在一个从Q{displaystyle mathbb {Q} }到其中的同构映射）。

Q{displaystyle mathbb {Q} }的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說Q{displaystyle mathbb {Q} }的基數（或勢）與自然數集合N{displaystyle mathbb {N} }相同，都是阿列夫數ℵ0{displaystyle aleph _{0}}。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。

实数

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量d(x,y)=|x−y|{displaystyle dleft(x,yright)=|x-y|}，有理数构成一个度量空间，这是Q{displaystyle mathbb {Q} }上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是Q{displaystyle mathbb {Q} }的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将Q{displaystyle mathbb {Q} }转化到拓扑域：

设p{displaystyle p}是素数，对任何非零整数a{displaystyle a}设|a|p=p−n{displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}，这里pn{displaystyle p^{n}}是整除a{displaystyle a}的p{displaystyle p}的最高次幂；

另外|0|p=0{displaystyle |0|_{p}=0}。对任何有理数ab{displaystyle {frac {a}{b}}}，设|ab|p=|a|p|b|p{displaystyle left|{frac {a}{b}}right|_{p}={frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}。

则dp(x,y)=|x−y|p{displaystyle d_{p}left(x,yright)=|x-y|_{p}}在Q{displaystyle mathbb {Q} }上定义了一个度量。

度量空间(Q,dp){displaystyle left(mathbb {Q} ,d_{p}right)}不完备，它的完备集是p进数域Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}}。

参见

• 浮点数


• 
  尼云定理