Agfdhyk

12+162333+12−162333{displaystyle {sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}+{sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}-{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}}
二進位	約為1.010100110010000010110111010011101100101
八進位	約為1.2462026723545104533260274211370405060463
十進位	約為1.324717957244746025960908854478097340734
十六進位	約為1.5320B74ECA44ADAC178897C41461334737F8172F

塑膠數或銀數是一元三次方程 x3=x+1{displaystyle x^{3}=x+1,} 的唯一一個實數根，其值為

12+162333+12−162333{displaystyle {sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}+{sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}-{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}}

約等於1.3247179572447460259609{displaystyle 1.3247179572447460259609} 。

塑膠數對於佩蘭數列和巴都萬數列，就如黃金分割對於斐波那契數列——是兩項的比的極限。它亦是最小的皮索數。

塑膠數的來源

塑膠數是方程x3=x+1{displaystyle x^{3}=x+1,}的唯一實數根。

對於方程x3=x+1{displaystyle x^{3}=x+1,}，現將等式右邊變為0，即

x3−x−1=0{displaystyle x^{3}-x-1=0,}

設

x=λy+y{displaystyle x={frac {lambda }{y}}+y,}，

則

y=12x2−4λ{displaystyle y={frac {1}{2}}{sqrt {x^{2}-4lambda }},}

得到

−1−y−λy+(y+λy)3=0{displaystyle -1-y-{frac {lambda }{y}}+left(y+{frac {lambda }{y}}right)^{3}=0,}

等式兩邊同時乘 y3{displaystyle y^{3}} 得

y6+y4(3λ−1)−y3+y2(3λ2−λ)+λ3=0{displaystyle y^{6}+y^{4}left(3lambda -1right)-y^{3}+y^{2}left(3lambda ^{2}-lambda right)+lambda ^{3}=0,}

得λ=13{displaystyle lambda ={frac {1}{3}},}，將其帶入上面方程，并設z=y3{displaystyle z=y^{3},}，得到一個z{displaystyle z}的二次方程

z2−z+127=0{displaystyle z^{2}-z+{frac {1}{27}}=0,}

解得

z=118(9+69){displaystyle z={frac {1}{18}}left(9+{sqrt {69}}right),}

根據z=y3{displaystyle z=y^{3},}，得

y3=118(9+69){displaystyle y^{3}={frac {1}{18}}left(9+{sqrt {69}}right),}

則y{displaystyle y}有實數解

y=12+162333{displaystyle y={sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}},}

根據y{displaystyle y}与λ{displaystyle lambda }的關係，得y=x2+12x2−43{displaystyle y={tfrac {x}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {x^{2}-{tfrac {4}{3}}}},}，得x{displaystyle x}的實數解

x=12+162333+12−162333{displaystyle x={sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}+{sqrt[{3}]{{frac {1}{2}}-{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}},}

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