Agfdhyk

正弦
性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	[-1,1]
周期	2π
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	((2k+½)π,1)
最小值	((2k-½)π,-1)
其他性質
渐近线	N/A
根	kπ
臨界點	kπ-π/2
拐點	kπ
不動點	0
k是一個整數。

在數學中，正弦（英語：sine、縮寫sin{displaystyle sin }）是一種週期函數，是三角函数的一種。它的定义域是整个实数集，值域是[−1,1]{displaystyle [-1,1]}。它是周期函数，其最小正周期为2π{displaystyle 2pi }。在自变量为(4n+1)π2{displaystyle {frac {(4n+1)pi }{2}}}（n{displaystyle n}为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(4n+3)π2{displaystyle {frac {(4n+3)pi }{2}}}时，该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数，其图像于原点对称。

符号史

正弦的符号为sin{displaystyle sin }，取自拉丁文sinus。该符号最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义

直角三角形中

直角三角形，∠C{displaystyle angle C}為直角，∠A{displaystyle angle A}的角度為θ{displaystyle theta }， 對於∠A{displaystyle angle A}而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角∠A{displaystyle angle A}的正弦定义为它的对边与斜边的比值，也就是：

sin⁡θ=ac{displaystyle sin theta ={frac {mathrm {a} }{mathrm {c} }}}

可以發現其定義和餘割函數互為倒數。

直角坐标系中

设α{displaystyle alpha }是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，P(x,y){displaystyle Pleft({x,y}right)}是角的终边上一点，r=x2+y2>0{displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}是P到原点O的距离，则α{displaystyle alpha }的正弦定义为：

sin⁡α=yr{displaystyle sin alpha ={frac {y}{r}}}

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ{displaystyle theta }，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sin⁡θ{displaystyle sin theta }。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sin⁡θ=y1{displaystyle sin theta ={frac {y}{1}}}。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2π{displaystyle 2pi }或小于−2π{displaystyle -2pi }的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数：

sin⁡θ=sin⁡(θ+2πk){displaystyle sin theta =sin left(theta +2pi kright)}

对于任何角度θ{displaystyle theta }和任何整数k{displaystyle k}。

級數定義

正弦函数（蓝色）的七阶泰勒公式（粉色）在以原点为中心的一个周期内紧密地逼近原函数

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

微分方程定义

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足初值問題

y″=−y,y(0)=0,y′(0)=1{displaystyle y''=-y,,y(0)=0,,y'(0)=1}

这就是正弦的微分方程定义。

指数定义

正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出：

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i{displaystyle sin theta ={frac {e^{itheta }-e^{-itheta }}{2i}},}

恒等式

用其它三角函数来表示正弦

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
sin⁡θ={displaystyle sin theta =}	sin⁡θ {displaystyle sin theta }	1−cos2⁡θ{displaystyle {sqrt {1-cos ^{2}theta }}}	tan⁡θ1+tan2⁡θ{displaystyle {frac {tan theta }{sqrt {1+tan ^{2}theta }}}}	1csc⁡θ{displaystyle {frac {1}{csc theta }}}	sec2⁡θ−1sec⁡θ{displaystyle {frac {sqrt {sec ^{2}theta -1}}{sec theta }}}	11+cot2⁡θ{displaystyle {frac {1}{sqrt {1+cot ^{2}theta }}}}

两角和差公式

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y{displaystyle sin left(x+yright)=sin xcos y+cos xsin y}

sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y{displaystyle sin left(x-yright)=sin xcos y-cos xsin y}

二倍角公式

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ{displaystyle sin 2theta =2sin theta cos theta ,}

三倍角公式

sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin3⁡θ{displaystyle sin 3theta =3sin theta -4sin ^{3}theta ,}

半角公式

sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2.{displaystyle sin {frac {theta }{2}}=pm ,{sqrt {frac {1-cos theta }{2}}}.,}

和差化积公式

sin⁡θ+sin⁡ϕ=2sin⁡(θ+ϕ2)cos⁡(θ−ϕ2){displaystyle sin theta +sin phi =2sin left({frac {theta +phi }{2}}right)cos left({frac {theta -phi }{2}}right)}

sin⁡θ−sin⁡ϕ=2cos⁡(θ+ϕ2)sin⁡(θ−ϕ2){displaystyle sin theta -sin phi =2cos left({theta +phi over 2}right)sin left({theta -phi over 2}right);}

万能公式

sin⁡α=2tan⁡α21+tan2⁡α2{displaystyle sin alpha ={frac {2tan {frac {alpha }{2}}}{1+tan ^{2}{frac {alpha }{2}}}}}

含有正弦的积分

∫sin⁡cxdx=−1ccos⁡cx{displaystyle int sin cx;dx=-{frac {1}{c}}cos cx,!}

∫|sin⁡x|dx=−cos⁡x{displaystyle int |sin x|;dx=-cos x,!}

∫sinn⁡cxdx=−sinn−1⁡cxcos⁡cxnc+n−1n∫sinn−2⁡cxdx(for n>0){displaystyle int sin ^{n}{cx};dx=-{frac {sin ^{n-1}cxcos cx}{nc}}+{frac {n-1}{n}}int sin ^{n-2}cx;dxqquad {mbox{(for }}n>0{mbox{)}},!}

∫sin2⁡cxdx=x2−14csin⁡2cx=x2−12csin⁡cxcos⁡cx{displaystyle int sin ^{2}{cx};dx={frac {x}{2}}-{frac {1}{4c}}sin 2cx={frac {x}{2}}-{frac {1}{2c}}sin cxcos cx!}

∫1−sin⁡xdx=∫cvs⁡xdx=2cos⁡x2+sin⁡x2cos⁡x2−sin⁡x2cvs⁡x=21+sin⁡x{displaystyle int {sqrt {1-sin {x}}};dx=int {sqrt {operatorname {cvs} {x}}},dx=2{frac {cos {frac {x}{2}}+sin {frac {x}{2}}}{cos {frac {x}{2}}-sin {frac {x}{2}}}}{sqrt {operatorname {cvs} {x}}}=2{sqrt {1+sin {x}}}}

∫xsin⁡cxdx=sin⁡cxc2−xcos⁡cxc{displaystyle int xsin cx;dx={frac {sin cx}{c^{2}}}-{frac {xcos cx}{c}},!}

∫xnsin⁡cxdx=−xnccos⁡cx+nc∫xn−1cos⁡cxdx(for n>0){displaystyle int x^{n}sin cx;dx=-{frac {x^{n}}{c}}cos cx+{frac {n}{c}}int x^{n-1}cos cx;dxqquad {mbox{(for }}n>0{mbox{)}},!}

∫−a2a2x2sin2⁡nπxadx=a3(n2π2−6)24n2π2(for n=2,4,6...){displaystyle int _{frac {-a}{2}}^{frac {a}{2}}x^{2}sin ^{2}{frac {npi x}{a}};dx={frac {a^{3}(n^{2}pi ^{2}-6)}{24n^{2}pi ^{2}}}qquad {mbox{(for }}n=2,4,6...{mbox{)}},!}

∫sin⁡cxxdx=∑i=0∞(−1)i(cx)2i+1(2i+1)⋅(2i+1)!{displaystyle int {frac {sin cx}{x}};dx=sum _{i=0}^{infty }(-1)^{i}{frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)cdot (2i+1)!}},!}

∫sin⁡cxxndx=−sin⁡cx(n−1)xn−1+cn−1∫cos⁡cxxn−1dx{displaystyle int {frac {sin cx}{x^{n}}};dx=-{frac {sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{frac {c}{n-1}}int {frac {cos cx}{x^{n-1}}}dx,!}

∫dxsin⁡cx=1cln⁡|tan⁡cx2|{displaystyle int {frac {dx}{sin cx}}={frac {1}{c}}ln left|tan {frac {cx}{2}}right|}

∫dxsinn⁡cx=cos⁡cxc(1−n)sinn−1⁡cx+n−2n−1∫dxsinn−2⁡cx(for n>1){displaystyle int {frac {dx}{sin ^{n}cx}}={frac {cos cx}{c(1-n)sin ^{n-1}cx}}+{frac {n-2}{n-1}}int {frac {dx}{sin ^{n-2}cx}}qquad {mbox{(for }}n>1{mbox{)}},!}

∫dx1±sin⁡cx=1ctan⁡(cx2∓π4){displaystyle int {frac {dx}{1pm sin cx}}={frac {1}{c}}tan left({frac {cx}{2}}mp {frac {pi }{4}}right)}

∫xdx1+sin⁡cx=xctan⁡(cx2−π4)+2c2ln⁡|cos⁡(cx2−π4)|{displaystyle int {frac {x;dx}{1+sin cx}}={frac {x}{c}}tan left({frac {cx}{2}}-{frac {pi }{4}}right)+{frac {2}{c^{2}}}ln left|cos left({frac {cx}{2}}-{frac {pi }{4}}right)right|}

∫xdx1−sin⁡cx=xccot⁡(π4−cx2)+2c2ln⁡|sin⁡(π4−cx2)|{displaystyle int {frac {x;dx}{1-sin cx}}={frac {x}{c}}cot left({frac {pi }{4}}-{frac {cx}{2}}right)+{frac {2}{c^{2}}}ln left|sin left({frac {pi }{4}}-{frac {cx}{2}}right)right|}

∫sin⁡cxdx1±sin⁡cx=±x+1ctan⁡(π4∓cx2){displaystyle int {frac {sin cx;dx}{1pm sin cx}}=pm x+{frac {1}{c}}tan left({frac {pi }{4}}mp {frac {cx}{2}}right)}

∫sin⁡c1xsin⁡c2xdx=sin⁡(c1−c2)x2(c1−c2)−sin⁡(c1+c2)x2(c1+c2)(for |c1|≠|c2|){displaystyle int sin c_{1}xsin c_{2}x;dx={frac {sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}-{frac {sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}qquad {mbox{(for }}|c_{1}|neq |c_{2}|{mbox{)}},!}

特殊值

	0{displaystyle 0}	π12{displaystyle {frac {pi }{12}}}	π6{displaystyle {frac {pi }{6}}}	π4{displaystyle {frac {pi }{4}}}	π3{displaystyle {frac {pi }{3}}}	5π12{displaystyle {frac {5pi }{12}}}
sin	0{displaystyle 0}	6−24{displaystyle {frac {{sqrt {6}}-{sqrt {2}}}{4}}}	12{displaystyle {frac {1}{2}}}	22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}	32{displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}	6+24{displaystyle {frac {{sqrt {6}}+{sqrt {2}}}{4}}}

角度	0∘{displaystyle 0^{circ }}	30∘{displaystyle 30^{circ }}	45∘{displaystyle 45^{circ }}	60∘{displaystyle 60^{circ }}	90∘{displaystyle 90^{circ }}
sin	02=0{displaystyle {frac {sqrt {0}}{2}}=0}	12=12{displaystyle {frac {sqrt {1}}{2}}={1 over 2}}	22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}	32{displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}	42=1{displaystyle {frac {sqrt {4}}{2}}=1}

正弦定理

正弦定理說明对于任意三角形，它的边是a{displaystyle a}, b{displaystyle b}和c{displaystyle c}而相对这些边的角是A{displaystyle A}, B{displaystyle B}和C{displaystyle C}，有：

sin⁡Aa=sin⁡Bb=sin⁡Cc{displaystyle {frac {sin A}{a}}={frac {sin B}{b}}={frac {sin C}{c}}}

也表示为：

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R{displaystyle {frac {a}{sin A}}={frac {b}{sin B}}={frac {c}{sin C}}=2R}

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数sin⁡Aa{displaystyle {frac {sin A}{a}}}是通过A{displaystyle A}, B{displaystyle B}和C{displaystyle C}三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。

参考文献

外部链接

• 
  維基共享資源中与正弦相關的分類

參見

• 餘弦


• 正切


• 餘切


• 正割


• 餘割


• 三角学


• 三角函数


• 函數


• 正弦波

查 论 编 三角函數 基本函數 正弦 · 餘弦 · 正切 · 餘切 · 正割 · 餘割 反函數 反正弦 · 反餘弦 · 反正切 · 反餘切 · 反正割‎ · 反餘割 其他函數 正矢 · 餘矢 · cis函數 · 餘cis函數 · 半正矢 · 半餘矢 · 外正割 · 外餘割 · atan2 · 古德曼函數 定理 正弦定理 · 餘弦定理 · 正切定理 · 餘切定理 · 正割定理 · 勾股定理 其他 三角函數恆等式 · 三角函數精確值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 雙曲三角函數 · 雙曲三角函數恆等式