函数图形

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函數 f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}}f(x)=x^{2} 的圖形。





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sin(x)等函數的圖形。


在数学中,函数 f图形(或图像)指的是所有有序对(x, f(x))组成的集合。具体而言,如果x为实数,则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合,呈现为曲面(参见三维计算机图形)。


实函数的图形拥有其唯一的图像。而对于一般的函数,其图形形式无法应用,图形的正式定义取决于数学表述的需要,例如泛函分析中的閉圖像定理。


函数图形的概念由二元关系图形推广而来。需要注意的是,尽管一个函数与其图像通常是一一对应的,但二者并不可混淆。两个函数可能拥有相同的图像,却有不同的上域(陪域)。例如,对于下文提到的三次多项式,当其上域为实数时函数即为满射,而若其上域为复数则不然。


通过垂线测试可以判断一条曲线是否为一个函数,而通过水平線測試可以判断函数是否为单射且是否存在反函数。如果反函数存在,则其图像可以通过将原函数图像以直线y=x为轴进行对称得到。




目录






  • 1 样例


    • 1.1 单变量函数


      • 1.1.1 一次函数


      • 1.1.2 非線性函數




    • 1.2 双变量函数




  • 2 函数图像绘制工具


    • 2.1 硬件


    • 2.2 软件




  • 3 参考文献


  • 4 相关条目





样例



单变量函数



一次函数




三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的 y-截距相同。



形如


f(x)=kx+b {displaystyle f(x)=kx+b! }f(x)=kx+b !

的图像为:


{(x,kx+b)|x∈R}{displaystyle left{(x,kx+b)|xin mathbb {R} right}}left{ (x,kx+b)|x in mathbb{R} right}

在平面直角坐标系中,该图像为一条直线。这是因为,该函数的导数为常数k{displaystyle k}k




非線性函數




函数 f(x)=x3−9x{displaystyle f(x)=x^{3}-9x}f(x)=x^3-9x 的图像。


对于二次或更高次的多項式函数,或者其他的非線性函數,其图像则会呈现为一条曲线。这是因为其導函數不是常數函數。


例如,三次函数


f(x)=x3−9x {displaystyle f(x)={{x^{3}}-9x}! }f(x)={{x^3}-9x} !

的图像为


{(x,x3−9x)|x∈R}{displaystyle left{(x,x^{3}-9x)|xin mathbb {R} right}}left{ (x, x^3 -9x) | x in mathbb{R} right}

如果將这个图像绘制在平面直角坐标系中,则会得到一条三次曲线(见右图)。




双变量函数





函数 f(x,y)=sin⁡(x2)×cos⁡(y2){displaystyle {begin{smallmatrix}f(x,y)=sin(x^{2})times cos(y^{2})end{smallmatrix}}}begin{smallmatrix} f(x, y) = sin(x^2)times cos(y^2) end{smallmatrix}<br />
的图像。


三角学中的函数


f(x,y)=sin⁡x2cos⁡y2{displaystyle f(x,y)=sin x^{2}cos y^{2}}f(x,y)=sin x^2 cos y^2

的图像为


{(x,y,sin⁡x2cos⁡y2)|x,y∈R}{displaystyle left{(x,y,sin x^{2}cos y^{2})|x,yin mathbb {R} right}}left{ (x,y,sin x^2 cos y^2)|x,y in mathbb{R} right}

如果这个图像绘制在了三维坐标系中,则会得到一个曲面(见图)。




函数图像绘制工具



硬件





TI-83繪圖計算器。



  • 图形计算器

  • 示波器



软件




参考文献




  • Weisstein, Eric W. "Function Graph - MathWorld."


相关条目







  • 函数

  • 导数

  • 驻点

  • 斜率

  • 截距

  • 方程

  • 坐標系




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