梅森素数









梅森数是指形如2n−1{displaystyle 2^{n}-1}2^{n}-1的数,记为Mn{displaystyle M_{n}}M_{n};如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数英语:Mersenne prime)。



































































































































































梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森(Marin Mersenne)的名字命名的,他列出了n ≤ 257的梅森素数,不过他错误地包括了不是梅森素数的M67M257,而遗漏了M61M89M107


n为合数时,Mn{displaystyle M_{n}}M_{n}一定为合数(因為當a整除b時,Ma{displaystyle M_{a}}{displaystyle M_{a}}一定整除Mb{displaystyle M_{b}}M_{b},反之亦然)。但当n为素数时,Mn{displaystyle M_{n}}M_{n}不一定皆為素数,比如M2=22−1=3{displaystyle M_{2}=2^{2}-1=3}M_{2}=2^{2}-1=3M3=23−1=7{displaystyle M_{3}=2^{3}-1=7}M_{3}=2^{3}-1=7是素数,但M11=211−1=2047=23×89{displaystyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23times 89}M_{{11}}=2^{{11}}-1=2047=23times 89卻不是素数。


截至2018年12月,已知的梅森素数共有51个。已知最大的梅森素数是282589933−1{displaystyle 2^{82589933}-1}{displaystyle 2^{82589933}-1}[1]。从1997年至今,所有新的梅森素数都是由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现的。




目录






  • 1 相关命题和定理


    • 1.1 梅森数和梅森素数的性质


    • 1.2 梅森数和梅森素数的关系


    • 1.3 梅森数的素数检验


    • 1.4 与完全数的关系




  • 2 相关问题和猜想


  • 3 寻找梅森素数


    • 3.1 梅森素数列表




  • 4 外部链接


  • 5 参考





相关命题和定理



梅森数和梅森素数的性质



  • Mn=∑i=0n(ni)−1{displaystyle M_{n}=sum _{i=0}^{n}{n choose i}-1}M_{n}=sum _{{i=0}}^{{n}}{n choose i}-1


  • q ≡ 3 mod 4为素数。则 2q+1是素数 的充分必要条件是 2q+1整除Mq ,因此對於這些素數q(除了3),Mq不可能會是質數,前幾個這樣的素數q為11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 659, 683, 719, 743, 911, 1019, 1031, 1103, 1223, 1439, 1451, 1499, ... (OEIS中的数列A002515)


  • 拉馬努金-南哥尔方程(Ramanujan–Nagell Equation):Mq = 6+x2。当q为3、5和7时,Mq为梅森素数,方程有整数解;q为合数4和15时,方程亦有整数解;q为其它自然数时,方程没有整数解。

  • 如果p是奇素数,那么任何能整除2p − 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。例如,211 − 1 = 23×89,而23 = 1 + 2×11,89 = 1 + 8×11。

  • 如果p是奇素数,那么任何能整除2p−1{displaystyle 2^{p}-1}2^p-1的素数q都一定与±1(mod8){displaystyle pm 1{pmod {8}}}pm 1{pmod  8}同余。


梅森数和梅森素数的关系


下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。



  • 2ab−1=(2a−1)×i=0b−12ia{displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)times sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}}2^{{ab}}-1=(2^{a}-1)times sum _{{i=0}}^{{b-1}}2^{{ia}}知:q是素数是Mq是素数的必要条件。但这不是充分的。M11 = 211 − 1 = 23 × 89是个反例。

  • Mq(q是素数)有:

    • aMq的因数,则a有如下性质:


      • a ≡ 1 mod 2q


      • a ≡ ±1 mod 8



    • 欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明:Mq是素数当且仅当存在数对(x,y)使得Mq = (2x)2 + 3(3y)2,其中q ≥ 5。

    • 最近,Bas jansen研究了等式Mq = x2 + dy2(0≤d≤48),得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。

    • Reix发现q > 3时,Mq可以写成:Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。显然,若存在一个数对(x,y),那么Mq是素数。





梅森数的素数检验



  • 卢卡斯-莱默检验法是现在已知的检测梅森数素数的最好的方法。

    • 该方法由爱德华·卢卡斯于1878年发现,并由德里克·亨利·莱默英语Derrick Henry Lehmer于1930年代作了改进,因此得名。

    • 该方法基于循环数列英语Derrick Henry Lehmer的计算,其原理是:




Mn为素数当且仅当Mn整除Sn-2S0=4,Sk = S 2k − 1 − 2,k > 0),此數列為4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994, ... (OEIS中的数列A003010)


与完全数的关系


  • 梅森素数与偶完全数有一一对应的关系。這個結果稱為歐幾里得-歐拉定理。

    • 前4世纪,欧几里得(Euclid)证明如果M是梅森素数,那么M(M+1)2{displaystyle {frac {M(M+1)}{2}}}{displaystyle {frac {M(M+1)}{2}}}是完全数。

    • 18世纪,欧拉(Euler)证明所有的偶完全数都有这种形式。




相关问题和猜想



  • 是否有无穷多个梅森素数。

  • 梅森素数如何分布。



寻找梅森素数



  • 头四个梅森素数M2M3M5M7在古代就已经知道。

  • 第五个梅森素数M13在1461年之前被发现;

  • 随后的两个(M17M19)在1588年由Cataldi发现。

  • 17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于等于257的梅森素数,其中错误地包括了不是素数的M67M257,遗漏了M61M89M107。这也是“梅森素数”这个名字的由来。

  • 一个多世纪后的1750年,才由欧拉证实M31是第8个梅森素数。

  • 下一个被发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M127

  • 1883年,Pervushin证实M61


  • M89M107是在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现的。

  • 电子计算机的发明革命化的改进了梅森素数的寻找。第一个成功的例子是M521的证明,它是在莱默指导下,使用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授编写的软件,利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学的数据分析协会的,属于美国国家标准局的西部自动计算机(SWAC)于1952年1月30日晚上10:00获得。并且在随后不到两小时,下一个梅森素数M607被发现。在随后的几个月裡,使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279M2203M2281

  • 隨著素數P值的增大,每一個梅森素數MP的產生都艱辛無比;而各國科學家及業餘研究者們仍樂此不疲,激烈競爭。1979年2月23日,當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數M23209時,人們告訴他們:在兩個星期前諾爾已得到這一結果。

  • 為此,史洛溫斯基潛心發憤,花了一個半月的時間,使用CRAY-1型計算機找到了新的梅森素數M44497。這個記錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。


之後,這位計算機專家乘勝前進,使用經過改進的CRAY-XMP型計算機在1983年至1985年間找到了3個梅森素數:M86243M132049M216091。但他未能確定M86243M216091之間是否有異於M132049的梅森素數。而到了1988年,科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速并行計算機果然捕捉到了一條「漏網之魚」——M110503


沉寂4年之後,1992年3月25日,英國原子能技術權威機構——哈威爾實驗室的一個研究小組宣布他們找到了新的梅森素數M756839


1994年1月14日,史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現「已知最大素數」的桂冠——這一素數是M859433。而下一個梅森素數M1257787仍是他們的成果。這一素數是使用CRAY-794超級計算機在1996年取得的。


史洛溫斯基由於發現7個梅森素數,而被人們譽為「素數大王」。



  • 到2018年12月,我们知道了51个梅森素数;现在已知最大的素数是梅森素数M82589933。像前几个一样,都是由因特网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现的。

  • 2010年7月11日GIMPS项目確認M20,996,011是第40個梅森素数。[2]

  • 2011年12月1日GIMPS项目确认M24,036,583是第41个梅森素数。[2]

  • 2012年12月20日GIMPS项目确认M25,964,951是第42个梅森素数。[2]

  • 2013年1月25日GIMPS项目发现M57,885,161[2]

  • 2014年2月23日GIMPS项目确认M30,402,457是第43个梅森素数。[2]

  • 2014年11月8日GIMPS项目确认M32,582,657是第44个梅森素数。[2]

  • 2016年1月7日GIMPS項目發現M74,207,281[2]

  • 2018年1月3日GIMPS项目发现的M77232917,共有23249425位数[3]

  • 2018年12月7日GIMPS项目M82589933,共有24862048 位数[1]



梅森素数列表


      梅森遺漏的梅森素数


      GIMPS發現的梅森素数


      古代知道的梅森素数


      以試除法發現的梅森素数


      拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現的梅森質數


      亞歷山大·赫維茲發現的梅森質數


      Donald B. Gillies發現的梅森質數


      Walt Colquitt & Luke Welsh發現的梅森質數


下面表中列出了所有已知的梅森素数:OEIS A000668



























































































































































































































































































































































































































































































#

n

Mn

Mn的位数
发现日期
发现者
算法
1

2

3
1
公元前5世紀

古希臘数學家

2

3

7
1
公元前5世紀
古希臘数學家

3

5

31
2
公元前3世紀
古希臘数學家

4

7

127
3
公元前3世紀
古希臘数學家

5

13

8191
4
1456年

无名氏

试除法
6

17

131071
6
1588年

Pietro Cataldi
试除法
7

19

524287
6
1588年
Pietro Cataldi
试除法
8

31

2147483647
10
1772年

莱昂哈德·欧拉
优化的试除法
9

61
2305843009213693951
19
1883年

Ivan Mikheevich Pervushin

卢卡斯数列
10

89
618970019642690137449562111
27
1911年

Ralph Ernest Powers
卢卡斯数列
11

107
162259276829213363391578010288127
33
1914年
Ralph Ernest Powers
卢卡斯数列
12

127
170141183460469231731687303715884105727
39
1876年

爱德华·卢卡斯
卢卡斯数列
13

521
686479766013…291115057151
157
1952年1月30日

拉斐爾·米切爾·羅賓遜

卢卡斯-莱默检验法
14

607
531137992816…219031728127
183
1952年1月30日
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
卢卡斯-莱默检验法
15
1,279
104079321946…703168729087
386
1952年6月25日
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
卢卡斯-莱默检验法
16
2,203
147597991521…686697771007
664
1952年10月7日
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
卢卡斯-莱默检验法
17
2,281
446087557183…418132836351
687
1952年10月9日
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
卢卡斯-莱默检验法
18
3,217
259117086013…362909315071
969
1957年9月8日

Hans Riesel
卢卡斯-莱默检验法
19
4,253
190797007524…815350484991
1,281
1961年11月3日

亞歷山大·赫維茲
卢卡斯-莱默检验法
20
4,423
285542542228…902608580607
1,332
1961年11月3日
亞歷山大·赫維茲
卢卡斯-莱默检验法
21
9,689
478220278805…826225754111
2,917
1963年5月11日

Donald B. Gillies
卢卡斯-莱默检验法
22
9,941
346088282490…883789463551
2,993
1963年5月16日
Donald B. Gillies
卢卡斯-莱默检验法
23
11,213
281411201369…087696392191
3,376
1963年6月2日
Donald B. Gillies
卢卡斯-莱默检验法
24
19,937
431542479738…030968041471
6,002
1971年3月4日

布萊恩特·塔克曼
卢卡斯-莱默检验法
25
21,701
448679166119…353511882751
6,533
1978年10月30日

Landon Curt Noll & Laura Nickel
卢卡斯-莱默检验法
26
23,209
402874115778…523779264511
6,987
1979年2月9日
Landon Curt Noll
卢卡斯-莱默检验法
27
44,497
854509824303…961011228671
13,395
1979年4月8日

Harry Nelson & David Slowinski
卢卡斯-莱默检验法
28
86,243
536927995502…209433438207
25,962
1982年9月25日
David Slowinski
卢卡斯-莱默检验法
29
110,503
521928313341…083465515007
33,265
1988年1月28日

Walt Colquitt & Luke Welsh
卢卡斯-莱默检验法
30
132,049
512740276269…455730061311
39,751
1983年9月20日
David Slowinski
卢卡斯-莱默检验法
31
216,091
746093103064…103815528447
65,050
1985年9月6日
David Slowinski
卢卡斯-莱默检验法
32
756,839
174135906820…328544677887
227,832
1992年2月19日
David Slowinski & Paul Gage
卢卡斯-莱默检验法
33
859,433
129498125604…243500142591
258,716
1994年1月10日
David Slowinski & Paul Gage
卢卡斯-莱默检验法
34
1,257,787
412245773621…976089366527
378,632
1996年9月3日
David Slowinski & Paul Gage
卢卡斯-莱默检验法
35
1,398,269
814717564412…868451315711
420,921
1996年11月13日

GIMPS/Joel Armengaud
卢卡斯-莱默检验法
36
2,976,221
623340076248…743729201151
895,932
1997年8月24日
GIMPS/Gordon Spence
卢卡斯-莱默检验法
37
3,021,377
127411683030…973024694271
909,526
1998年1月27日
GIMPS/Roland Clarkson
卢卡斯-莱默检验法
38
6,972,593
437075744127…142924193791
2,098,960
1999年6月1日
GIMPS/Nayan Hajratwala
卢卡斯-莱默检验法
39
13,466,917
924947738006…470256259071
4,053,946
2001年11月14日
GIMPS/Michael Cameron
卢卡斯-莱默检验法
40
20,996,011
125976895450…762855682047
6,320,430
2003年11月17日
GIMPS/Michael Shafer
卢卡斯-莱默检验法
41
24,036,583
299410429404…882733969407
7,235,733
2004年5月15日
GIMPS/Josh Findley
卢卡斯-莱默检验法
42
25,964,951
122164630061…280577077247
7,816,230
2005年2月18日
GIMPS/Martin Nowak
卢卡斯-莱默检验法
43
30,402,457
315416475618…411652943871
9,152,052
2005年12月15日
GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
卢卡斯-莱默检验法
44
32,582,657
124575026015…154053967871
9,808,358
2006年9月4日
GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
卢卡斯-莱默检验法
45
37,156,667
202254406890…022308220927
11,185,272
2008年9月6日
GIMPS/Hans-Michael Elvenich
卢卡斯-莱默检验法
46
42,643,801
169873516452…765562314751
12,837,064
2009年4月12日[註 1]
GIMPS/Odd M. Strindmo
卢卡斯-莱默检验法
47
43,112,609
316470269330…166697152511
12,978,189
2008年8月23日
GIMPS/Edson Smith
卢卡斯-莱默检验法
48*
57,885,161
581887266232…071724285951
17,425,170
2013年1月25日

GIMPS/Curtis Cooper

卢卡斯-莱默检验法
49*
74,207,281
300376418084...391086436351
22,338,618
2015年9月17日[註 2]

GIMPS/Curtis Cooper

卢卡斯-莱默检验法
50*
77,232,917
467333183359...069762179071
23,249,425
2017年12月26日

GIMPS/Jon Pace

卢卡斯-莱默检验法
51*
82,589,933
148894445742...325217902591
24,862,048
2018年12月7日

GIMPS/Patrick Laroche

卢卡斯-莱默检验法

注:现在还不知道在第47个梅森素数(M43112609)和第51个(M82589933)之间是否还存在未知梅森素数,所以在其序号之前用*标出。




  1. ^ 2009年4月12日首次有機器發現M42,643,801,但直到6月4日才有人注意到。因此,兩者皆可視為發現日期。


  2. ^ 2015年9月17日首次有機器發現M74,207,281,但直到2016年1月7日才有人注意到。因此,兩者皆可視為發現日期。GIMPS以後者為正式日期。



外部链接




  • (英文)Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS計劃


  • (英文)Mersenne Primes: History, Theorems and Lists 梅森素数:历史,定理,以及梅森素数列表



参考




  1. ^ 1.01.1 Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!. www.mersenne.org. [2018-12-24]. 


  2. ^ 2.02.12.22.32.42.52.6 GIMPS Milestones


  3. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. Mersenne Research, Inc. 2018年1月3日 [2018年1月14日]. 




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