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群论

群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 拓扑群 · 群概形 · 循环群 冪零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）

查 论 编

假設(G,∗){displaystyle (G,*)}是一個群，若 H{displaystyle H} 是 G{displaystyle G} 的一個非空子集且同時 H{displaystyle H} 與相同的二元運算 ∗{displaystyle *} 亦構成一個群，則 (H,∗){displaystyle (H,*)} 稱為 (G,∗){displaystyle (G,*)} 的一個子群。參閱群論。

更精確地來說，若運算*在H的限制也是個在H上的群運算，则称H為G的子群。

一個群G的純子群是指一個子群H，其為G的純子集(即H ≠ G)。任一個群的當然群為只包含單位元素的子群{e}。若H為G的子群，則G有時會被稱為H的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當G為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算*當G帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉*的常規，並將乘積a*b寫成ab。

子群的檢驗

給定一個群(G,∗){displaystyle (G,*)}，H{displaystyle H}為G{displaystyle G}的子群，則有H{displaystyle H}為G{displaystyle G}的子群若且唯若∀h,h′∈H,h∗(h′)−1∈H{displaystyle forall h,h'in H,h*(h')^{-1}in H}。

若H{displaystyle H}為G{displaystyle G}的子群可表示為H≤G{displaystyle Hleq G}，則以上表述可表示為

H≤G⟺∀h,h′∈H,h∗(h′)−1∈H{displaystyle Hleq GLongleftrightarrow forall h,h'in H,h*(h')^{-1}in H}

證明：

(⟹){displaystyle (Longrightarrow )}：

因為H≤G{displaystyle Hleq G}，對於任意h′∈H{displaystyle h'in H}，∃h′−1∈H{displaystyle exists h'^{-1}in H}，另有h∈H{displaystyle hin H}，由於H{displaystyle H}為一個群，所以h∗h′−1∈H{displaystyle h*h'^{-1}in H}。

(⟸){displaystyle (Longleftarrow )}：

假設∃x∈H{displaystyle exists xin H}，令h=h′=x{displaystyle h=h'=x}，可得h∗h−1=x∗x−1=eG∈H{displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}in H}，即H{displaystyle H}存在單位元。

對於x∈H{displaystyle xin H}，令h=eG{displaystyle h=e_{G}}，h′=x{displaystyle h'=x}，可得h∗h−1=eG∗x−1=x−1∈H{displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}in H}，即對於任意x∈H{displaystyle xin H}，存在x−1∈H{displaystyle x^{-1}in H}。

對於x,y∈H{displaystyle x,yin H}，令h=x{displaystyle h=x}，h=y−1{displaystyle h=y^{-1}}，可得h∗h−1=x∗(y−1)−1=x∗y∈H{displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*yin H}，即對於任意x,y∈H{displaystyle x,yin H}，x∗y∈H{displaystyle x*yin H}。

因此H≤G⟺∀h,h′∈H,h∗(h′)−1∈H{displaystyle Hleq GLongleftrightarrow forall h,h'in H,h*(h')^{-1}in H}成立。

子群的基本性質

• 
  H是群G的子群若且唯若其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指：任兩個在H內的元素a和b，ab和a⁻¹都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件：任兩個在H內的a和b，ab⁻¹也會在H內。)在H是有限的情狀下，則H是一個子群若且唯若H在乘積下為封閉的。(在此一情形下，每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子群，且a的逆元素會是a⁻¹ = a^{n − 1}，其中n為a的階。)


• 上述的條件可以用同態來敘述；亦即，H為群G的子群若且唯若H為G的子集且存在一個由H映射到G的內含同態(即對每個a，i(a) = a)。


• 子群的單位元亦是群的單位元：若G是個有單位元素e_G的群，且H為具有單位元素e_H之G的子群，則e_H = e_G。


• 一個子群內的一元素之逆元素為群內的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b為會使得ab=ba=e_H之H內的元素，則ab = ba = e_G。


• 子群A和B的交集亦為一個子群。但其聯集亦為一個子群若且唯若A或B包含著另外一個，像是2和3是在2Z與3Z的聯集中，但其總和5則不是。


• 若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。


• 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得aⁿ = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。


• 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。

例子

有限群

G={0,1,2,3,4,5,6,7}{displaystyle G={0,1,2,3,4,5,6,7}} 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群：J={0,4}{displaystyle J={0,4}} 和 H={0,2,4,6}{displaystyle H={0,2,4,6}}，其中 J{displaystyle J} 亦是 H{displaystyle H} 的子群。H{displaystyle H} 的凱萊表是 G{displaystyle G} 的凱萊表之左上半部。 G{displaystyle G} 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

陪集和拉格朗日定理

給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a₁ ~ a₂若且唯若a₁⁻¹a₂會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言，

[G:H]=o(G)o(H){displaystyle [G:H]={o(G) over o(H)}}

其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。
右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。

若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見

• 嘉當子群


• 費汀子群


• 穩定子群