商群
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在數學中，給定一個群G和G的正規子群N，G在N上的商群或因子群，在直覺上是把正規子群N“萎縮”為單位元的群。商群寫為G/N并念作G mod N（mod是模的簡寫）。如果N不是正規子群，商仍可得到，但結果將不是群，而是齊次空間。
目录
1 群的子集的乘積
2 定義
3 定義的動機
4 例子
5 性質
6 參見
群的子集的乘積
在隨后的討論中，我們將使用在G的子集上的二元運算：如果給出G的兩個子集S和T，我們定義它們的乘積為ST = { st : s∈S并且t∈T }。這個運算是符合結合律的并有單位元為單元素集合{e}，這里的e是G的單位元。因此，G的所有子集的集合形成了在這個運算下的幺半群。
憑借這個運算我們可以首先解釋商群是什么，并接著解釋正規子群是什么：
- 群G的商群是G的一個劃分，而它在這個乘積運算下是群。
它完全由包含e的子集所確定。G的正規子群是在任何這種劃分中包含e的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集。
群G的子群N是正規子群，當且僅當陪集等式aN = Na對于所有G中的a都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算，G的正規子群是交換於G的所有子集的子群，并指示為N ⊲ G。置換於G的所有子群的子群叫做可置換子群。
定義
設N是群G的正規子群。我們定義集合G/N是N在G中的所有左陪集的集合，就是說G/N = { aN : a∈G }。在G/N上的群運算定義如上。換句話說，對于每個G/N中aN和bN，aN和bN的乘積是 (aN)（bN）。這個運算是閉合的，因為 (aN)(bN)實際上是左陪集：
- (aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N =(ab)NN =(ab)N。
N的正規性被用在了這個等式中。因為N的正規性，N在G中的左陪集和右陪集是相等的，所以G/N也可以定義為N在G中所有的右陪集的集合。因為運算是從G的子集的乘積得出的，這個運算是良好定義的（不依賴於表示的特定選擇），符合結合律的，并有單位元N。G/N的元素aN的逆元是a−1N。
定義的動機
G/N叫做商群的理由來自整數的除法。在12除以3的時候得到答案4是因為我們可以把12個對象重新分組為3個對象的4個子搜集。商群出于同樣想法，但用一個群作為最終答案而非一個數，因為群要比對象的隨機搜集要更有結構。
更細致的說，在查看G/N而N是G的正規子群的時候，這個群結構形成一種自然“重新分組”。它們是N在G中陪集。因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的（正常除法所產生的）數目要更多的信息，這里得到了一個群結構自身。
例子
- 考慮整數集Z（在加法下）的群和所有偶數構成的子群2Z。這是個正規子群，因為Z是阿貝爾群。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商群Z/2Z是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合{ 0, 1 }帶有模2加法運算的群；非正式的說，有時稱Z/2Z等于集合{ 0, 1 }帶有模2加法。
- 上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集Z在加法下的群。設n是任何正整數。我們考慮由n的所有倍數構成的Z的子群nZ。nZ在Z中還是正規子群因為Z是阿貝爾群。陪集們是搜集{nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整數k屬于陪集r+nZ，這里的r是k除以n的馀數。商Z/nZ可以被認為模以n的“馀數”的群。這是個n階循環群。
N在G中的陪集
- 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群G，它們是在單位圓上的點，它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角。考慮它由單位一的四次根構成的子群N，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群（紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等）。因此商群G/N是三種顏色元素的群，它又是三個元素的循環群。
- 考慮實數集R在加法下的群，和整數集子群Z。Z在R中的陪集們是形如a + Z的所有集合，這里0 ≤ a < 1是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，并在結果大於或等于1的時候減去1完成的。商群R/Z同構於圓群S1，它是絕對值為1的複數在乘法下的群，或者說關于原點的二維旋轉的群，也就是特殊正交群SO(2)。有一個同構給出為f(a + Z) = exp（2πia，參見歐拉恒等式）。
- 如果G是可逆的3 × 3實數矩陣的群，而N是帶有行列式為1的3 × 3實數矩陣的子群，那么N在G中是正規子群（因為它是行列式同態的核）。N的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此G/N同構於非零實數的乘法群。
- 考慮阿貝爾群Z4 = Z/4Z（也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }帶有加法模4），和它的子群{ 0, 2 }。商群Z4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元{ 0, 2 }的群，群運算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同構於Z2。
- 考慮乘法群G=Zn2∗{displaystyle G=mathbf {Z} _{n^{2}}^{*}}
。第n個馀數的集合N是Zn∗{displaystyle mathbf {Z} _{n}^{*}}
的ϕ (n)階乘法子群。則N在G中是正規子群并且因子群G/N有陪集N,（1+n）N, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。Pallier加密系統基于了在不知道n的因子分解的時候難于確定G的隨機元素的陪集的猜想。
性質
商群G / G 同構於平凡群（只有一個元素的群），而G / {e}同構於G。
G / N的階定義為等于[G : N]，它是N在G中的子群的指標（index）。如果G是有限的，這個指標還等于G的階除以N的階。注意G / N可以在G和N二者是無限的時候是有限的（比如Z / 2Z）。
有一個“自然”滿射群同態π : G → G / N，把每個G的元素g映射到g所屬于的N的陪集上，也就是：π(g) = gN。映射π有時叫做“G到G / N上的規范投影”。它的核是N。
在包含N的G的子群和G / N的子群之間有一個雙射映射；如果H是包含N的G的子群，則對應的G / N的子群是π(H)。這個映射對于G的正規子群和G / N也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。
如果G是阿貝爾群、冪零群或可解群，則G / N也是。
如果G是循環群或有限生成群，則G / N也是。
如果N被包含在G的中心內，則G也叫做這個商群的中心擴張。
如果H是在有限群G中的子群，并且H的階是G的階的一半，則H保證是正規子群，因此G / H存在并同構於C2。這個結果還可以陳述為“任何指標為2的子群都是正規子群”，并且它的這種形式還適用於無限群。
所有群都同構於一個自由群的商。
有時但非必然的，群G可以從G / N和N重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。Z4 / { 0, 2 }同構於Z2，并且還同構於{ 0, 2 }，但是唯一的半直積是直積，因為Z2只有一個平凡的自同構。所以Z4不同于Z2 × Z2，它不能被重構。
參見
商環，也叫做因子環- 群擴張
- 格定理
- 商范疇
- 短正合序列
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