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在抽象代數中，設 Q{displaystyle Q} 為群，若存在群 G,N{displaystyle G,N}，及群的正合序列

1→N→iG→pQ→1{displaystyle 1to N{stackrel {i}{to }}G{stackrel {p}{to }}Qto 1}

（換言之，i{displaystyle i} 是單射、p{displaystyle p} 是滿射，且 Ker(p)=Im(i){displaystyle mathrm {Ker} (p)=mathrm {Im} (i)}；是故可視 N{displaystyle N} 為 G{displaystyle G} 的正規子群，G/N≃Q{displaystyle G/Nsimeq Q}。）則稱群 G{displaystyle G} 為 Q{displaystyle Q} 的群擴張，或稱 Q{displaystyle Q} 對 N{displaystyle N} 的扩张。

由短正合序列的同構關係，可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於

1→N→N×Q→Q→1{displaystyle 1to Nto Ntimes Qto Qto 1}

則稱此擴張為平凡擴張。當 N{displaystyle N} 落在 G{displaystyle G} 的中心時，稱之為中心擴張。

分類

一般的群擴張不易分類。若限定 G{displaystyle G} 為阿貝爾群，則 Q{displaystyle Q} 對 N{displaystyle N} 的擴張等價類一一對應於 ExtZ1(Q,N){displaystyle mathrm {Ext} _{mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}（參見條目 Ext函子）。

另一方面，若在群擴張 0→A→E→G→1{displaystyle 0to Ato Eto Gto 1} 中，A{displaystyle A} 為阿貝爾群，可任取一截面 s:G→E{displaystyle s:Gto E}（s 不一定是群同態），群 G{displaystyle G} 以共軛方式 a↦s(g)as(g)−1{displaystyle amapsto s(g)as(g)^{-1}} 在 A{displaystyle A} 上作用。這類擴張的等價類由群上同調 H2(G,A){displaystyle H^{2}(G,A)} 分類，並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

李代數的擴張

利用同樣作法，也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列

0→a→e→g→0{displaystyle 0to {mathfrak {a}}to {mathfrak {e}}to {mathfrak {g}}to 0}

若 [a,e]=0{displaystyle [{mathfrak {a}},{mathfrak {e}}]=0}，稱之為中心擴張。

參考資料

• 
  V.E. Govorov, Extension of a group, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4