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巴都萬數列（Padovan Sequence）是一個整數數列，由起始數值P0=P1=P2=1{displaystyle P_{0}=P_{1}=P_{2}=1}和遞歸關係Pn=Pn−2+Pn−3{displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}}定義。

首數個值為1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37 ...（OEIS:A000931）

此數列以建築師理察·巴都萬命名，他的論文Dom（1994年）提及Hans Van Der Laan應用銀數在建築方面。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

以巴都萬數為邊長的等邊三角形組成的螺旋

遞歸關係

• 
  Pn=Pn−1+Pn−5{displaystyle P_{n}=P_{n-1}+P_{n-5}}（此關係可從圖中見得）


• Pn=Pn−2+Pn−4+Pn−8{displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-4}+P_{n-8}}


• Pn=Pn−3+Pn−4+Pn−5{displaystyle P_{n}=P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5}}


• Pn=Pn−4+Pn−5+Pn−6+Pn−7+Pn−8{displaystyle P_{n}=P_{n-4}+P_{n-5}+P_{n-6}+P_{n-7}+P_{n-8}}

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義：
Perrinn=Pn+1+Pn−10{displaystyle Perrin_{n}=P_{n+1}+P_{n-10}}

反巴都比數列

使用遞歸關係P−n=P−n+3−P−n+1{displaystyle P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}}可將巴都比數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都比數列卻不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和

首n{displaystyle n}項（包括第0項）之和比Pn+5{displaystyle P_{n+5}}少2：

∑m=0nPm=Pn+5−2.{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{m}=P_{n+5}-2.}

下面是每隔數項的和：

∑m=0nP2m=P2n+3−1{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{2m}=P_{2n+3}-1}

∑m=0nP2m+1=P2n+4−1{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{2m+1}=P_{2n+4}-1}

∑m=0nP3m=P3n+2{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{3m}=P_{3n+2}}

∑m=0nP3m+1=P3n+3−1{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{3m+1}=P_{3n+3}-1}

∑m=0nP3m+2=P3n+4−1{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{3m+2}=P_{3n+4}-1}

∑m=0nP5m=P5n+1.{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{5m}=P_{5n+1}.}

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關：

∑m=0nPm2=Pn+22−Pn−12−Pn−32{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}=P_{n+2}^{2}-P_{n-1}^{2}-P_{n-3}^{2}}

∑m=0nPm2Pm+1=PnPn+1Pn+2{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}}

∑m=0nPmPm+2=Pn+2Pn+3−1.{displaystyle sum _{m=0}^{n}P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.}

其他恆等式

Pn2−Pn+1Pn−1=P−n−7.{displaystyle P_{n}^{2}-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.}

巴都萬數列跟二項式係數之和有關：

∑2m+n=k(mn)=Pk−2.{displaystyle sum _{2m+n=k}{m choose n}=P_{k-2}.}

估計值

x3−x−1=0{displaystyle x^{3}-x-1=0}有三個根：唯一的實數根p{displaystyle p}（即銀數）和兩個複數根q{displaystyle q}和r{displaystyle r}。

Pn=pn(3p2−1)+qn(3q2−1)+rn(3r2−1).{displaystyle P_{n}={frac {p^{n}}{left(3p^{2}-1right)}}+{frac {q^{n}}{left(3q^{2}-1right)}}+{frac {r^{n}}{left(3r^{2}-1right)}}.}

因為q{displaystyle q}和r{displaystyle r}的絕對值都少於1，當n{displaystyle n}趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的n{displaystyle n}，可以以下面的公式估計：

Pn≈pn(3p2−1)=pn4.264632....{displaystyle P_{n}approx {frac {p^{n}}{left(3p^{2}-1right)}}={frac {p^{n}}{4.264632...}}.}

從上面的公式亦知Pn+1Pn{displaystyle {frac {P_{n+1}}{P_{n}}}}的值趨近銀數。

整數分拆上的定義

Pn{displaystyle P_{n}}可以用不同的整數分拆來定義。

• 
  Pn{displaystyle P_{n}}是將n+2{displaystyle n+2}寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如P6=4{displaystyle P_{6}=4}，有4種方法將8寫成這類和式：

2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

• 
  P2n−2{displaystyle P_{2n-2}}是將n{displaystyle n}寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如P5×2−2=P8=7{displaystyle P_{5times 2-2}=P_{8}=7}，有7種方法將5寫成這類和式：

1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

• 
  Pn{displaystyle P_{n}}是將n{displaystyle n}寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如P9=9{displaystyle P_{9}=9}，有9種方法將9寫成這類和式：

9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

• 
  Pn{displaystyle P_{n}}是將n+4{displaystyle n+4}寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如P7=5{displaystyle P_{7}=5}，有5種方法將11寫成這類和式：

11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數

巴都萬數列的生成函數為

G(Pn;x)=1+x1−x2−x3.{displaystyle G(P_{n};x)={frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如：

∑m=0∞Pn2n=125.{displaystyle sum _{m=0}^{infty }{frac {P_{n}}{2^{n}}}={frac {12}{5}}.}

多項式

巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

Pn(x)={1,if n=0x,if n=1x2,if n=2xPn−2(x)+Pn−3(x),if n≥3{displaystyle P_{n}(x)=left{{begin{matrix}1,qquad qquad qquad qquad &{mbox{if }}n=0\x,qquad qquad qquad qquad &{mbox{if }}n=1\x^{2},qquad qquad qquad qquad &{mbox{if }}n=2\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{mbox{if }}ngeq 3end{matrix}}right.}

首七個巴都萬多項式為：

P0(x)=1{displaystyle P_{0}(x)=1,}

P1(x)=x{displaystyle P_{1}(x)=x,}

P2(x)=x2{displaystyle P_{2}(x)=x^{2},}

P3(x)=x2+1{displaystyle P_{3}(x)=x^{2}+1,}

P4(x)=x3+x{displaystyle P_{4}(x)=x^{3}+x,}

P5(x)=x3+x2+x{displaystyle P_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x,}

P6(x)=x4+2x2+1{displaystyle P_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1,}

P7(x)=x4+2x3+x2+x{displaystyle P_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x,}

第n{displaystyle n}個巴都萬數即Pn(1){displaystyle P_{n}(1)}。

其他特質

• 奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。


• 數列中的質數：P3,4=2;P5=3;P7=5;P8=7;P14=37;P19=151;P30=3329;P37=23833;...{displaystyle P_{3,4}=2;P_{5}=3;P_{7}=5;P_{8}=7;P_{14}=37;P_{19}=151;P_{30}=3329;P_{37}=23833;...}（OEIS:A000931）


• 數列中的平方數：P0,1,2=1;P6=22;P9=32;P11=42;P15=72{displaystyle P_{0,1,2}=1;P_{6}=2^{2};P_{9}=3^{2};P_{11}=4^{2};P_{15}=7^{2}}
  

外部連結

• 
  Padovan Sequence（MathWorld）


• 
  Tales of a Neglected Number，艾恩·史都華在雜誌發表的文章


• 學生科技網--中學生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯


• 
  Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number, Richard Padovan