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在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义： [x,y]=xyx−1y−1{displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。

定义

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交换子所生成的子群：

[G,G]=⟨g−1h−1gh|g,h∈G⟩.{displaystyle [G,G]=langle g^{-1}h^{-1}gh,|,g,hin Grangle .}

类似地可以定义高阶的导群。

G(0)=G{displaystyle G^{(0)}=G}

G(n)=[G(n−1),G(n−1)]n∈N{displaystyle G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]quad nin mathbf {N} }

可以证明，如果存在自然数 n 使得 G(n)=e{displaystyle G^{(n)}={e}} ，那么G是可解群。

商群G/[G,G]{displaystyle G/[G,G]}是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G^ab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

[G,G]=G{displaystyle [G,G]=G}的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

1. 
   G′{displaystyle G^{prime }}是G{displaystyle G}的正规子群。


2. 
   G对于自同构稳定：∀ϕ∈Aut(G),ϕ(G′)=G′{displaystyle forall phi in Aut(G),phi (G^{prime })=G^{prime }}。


3. 如果H是G的子群，那么H′⊆G′{displaystyle H^{prime }subseteq G^{prime }}。


4. 
   π:G1→G2{displaystyle pi :G_{1}to G_{2}}是一个满同态，那么π(G1′)=G2′{displaystyle pi (G_{1}^{prime })=G_{2}^{prime }}。


5. 如果H是G的正规子群，那么G/H{displaystyle G/H}是交换群，当且仅当G′⊆H{displaystyle G^{prime }subseteq H}。
   

   证明：πH:G→G/H:a↦Ha{displaystyle pi _{H}:Gto G/H:amapsto Ha}是一个满同态，
   

   
   

   所以，G/H{displaystyle G/H}是交换群

   
   

   ⇔{e}=(G/H)′=πH(G′){displaystyle quad Leftrightarrow left{eright}=(G/H)^{prime }=pi _{H}(G^{prime })}

   
   

   ⇔G′⊆He=H{displaystyle Leftrightarrow G^{prime }subseteq He=H}

   
   

   
   

   
   


6. 
   G′⊆G′{displaystyle G^{prime }subseteq G^{prime }}，所以Gab=G/G′{displaystyle G^{ab}=G/G^{prime }} 可交换。

交换子群的例子

• 4次交替群A4{displaystyle A_{4}}的交换子群是克莱因四元群V4{displaystyle V_{4}}。


• 
  n次对称群Sn{displaystyle S_{n}}的交换子群是n次交替群An{displaystyle A_{n}}。


• 
  四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

参见

• 群


• 交换子


• 正规子群


• 可解群


• 伽罗瓦理论