n-连通
本文介紹的是拓扑中的概念。關於图论中的连通，請見「连通图」。在数学的分支拓扑学中，一个拓扑空间 X 称为 n-连通的当且仅当它是道路连通的且其开始 n 个同伦群为消失，即
- πi(X)≡0 ,1≤i≤n,{displaystyle pi _{i}(X)equiv 0~,quad 1leq ileq n,}
这里左边是第 i 个同伦群的记号。道路连通的条件也能表达为 0-连通，当定义“0 维同伦群”为：
- π0(X):=[S0,X].{displaystyle pi _{0}(X):=[S^{0},X].}
![{displaystyle pi _{0}(X):=[S^{0},X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5a480e644386743ce0ca2c11deed0a5df4f684)
一个拓扑空间 X 是道路连通的当且仅当其 0 维同伦群消失，因为道路连通性意味着 X 中任何两点x1 和 x2 能用以 x1 为起点，x2 为终点一条连续道路连接起来，这和从 S0（两个点的离散集）到 X 的任何映射能形变为常映射。有了这种定义，我们可以定义 X 为 n-连通当且仅当
- πi(X)≡0,0≤i≤n.{displaystyle pi _{i}(X)equiv 0,quad 0leq ileq n.}
举例和应用
- 如上所述，一个空间 X 是 0-连通的当且仅当为道路连通；
- 一个空间是 1 连通的当且仅当为单连通，从而术语“n-连通”是道路连通和单连通的自然推广。
从定义显然有一个 n-连通空间 X 对任何 i < n 也是 i-连通的。
n-连通的概念应用于描述单纯同调和高维同伦群的关系的 Hurewicz 定理。
又见
- 连通空间
- 单连通
- 道路连通
- 同伦群
参考资料
- Dubrovin, Fomenko & Novikov Modern Geometry II, Spinger-Verlag.
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