Agfdhyk

  本文介紹的是代数概念。關於几何定理，請見「圆幂定理」。

幂運算（英语：Exponentiation），又稱指數運算，是數學運算，表達式為bn{displaystyle b^{n}}。其中，b{displaystyle b}稱為底數，而n{displaystyle n}稱為指數，其結果為b{displaystyle b}自乘n{displaystyle n}次。同樣地，把bn{displaystyle b^{n}}看作乘方的结果，稱為「b{displaystyle b}的n{displaystyle n}次幂」或「b{displaystyle b}的n{displaystyle n}次方」。

bn=b×⋯×b⏟n{displaystyle b^{n}=underbrace {btimes cdots times b} _{n}}

通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，bn{displaystyle b^{n}}通常寫成b^n或b**n，也可視為超運算，記為b[3]n，亦可以用高德納箭號表示法，寫成b↑n，讀作“b{displaystyle b}的n{displaystyle n}次方”。

當指數為1時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為2時，可以讀作“b{displaystyle b}的平方”；指數為 3 時，可以讀作“b{displaystyle b}的立方”。

bn{displaystyle b^{n}}的意義亦可視為：

bn=1×b×⋯×b⏟n{displaystyle b^{n}=1times underbrace {btimes cdots times b} _{n}}

起始值1（乘法的單位元）乘上底數（b{displaystyle b}）自乘指數（n{displaystyle n}）這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：除 0 外所有數的零次方都是 1 ；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

b0=1{displaystyle b^{0}=1qquad }

b−n=1b×⋯×b⏟n=1bn=(1b)n(b≠0){displaystyle b^{-n}={1 over underbrace {btimes cdots times b} _{n}}={frac {1}{b^{n}}}=left({frac {1}{b}}right)^{n}qquad (bneq 0)}。

以分數為指數的冪定義為bmn=bmn{displaystyle b^{frac {m}{n}}={sqrt[{n}]{b^{m}}}}，即b{displaystyle b}的m{displaystyle m}次方再开n{displaystyle n}次方根

0的0次方（英语：zero to the power of zero）目前沒有數學家給予正式的定義。在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 ，也有人主張定義為 1 。

因為在十进制，十的次方很易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂在計算機科學相當重要。

重要的恆等式

运算法则

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

am×an=am+n{displaystyle a^{m}times a^{n}=a^{m+n}}

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

231=N∗CycleX{displaystyle 2^{31}=N*CycleX}

RTPtype1=N(RtpX∗CycleX)231{displaystyle RTPtype1={frac {N(RtpX*CycleX)}{2^{31}}}}

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除：

anbn=(ab)n{displaystyle {frac {a^{n}}{b^{n}}}=left({frac {a}{b}}right)^{n}}

其他等式

• amn=amn{displaystyle a^{frac {m}{n}}={sqrt[{n}]{a^{m}}}}


• x−m=1xm(x≠0){displaystyle x^{-m}={frac {1}{x^{m}}}qquad (xneq 0)}


• x0=1(x≠0){displaystyle x^{0}=1qquad (xneq 0)}


• x1=x{displaystyle x^{1}=x,!}


• x−1=1x(x≠0){displaystyle x^{-1}={frac {1}{x}}qquad (xneq 0)}


• xi=eiln⁡x=cos⁡(ln⁡x)+isin⁡(ln⁡x),i2=−1{displaystyle x^{i}=e^{iln x}=cos(ln x)+isin(ln x),quad i^{2}=-1}

运算律

加法和乘法存在交换律，比如：2+3=5=3+2{displaystyle 2+3=5=3+2}，2×3=6=3×2{displaystyle 2times 3=6=3times 2}，但是幂的运算不存在交换律，23=8{displaystyle 2^{3}=8}，但是32=9{displaystyle 3^{2}=9}。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：(2+3)+4=9=2+(3+4){displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}，(2×3)×4=24=2×(3×4){displaystyle (2times 3)times 4=24=2times (3times 4)}，幂同样不存在：(23)4=84=4096{displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}，但是2(34)=281=2,417,851,639,229,258,349,412,352{displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}。

幂的运算顺序通常由上到下：

abc=a(bc)≠(ab)c=a(b×c)=ab×c.{displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}neq (a^{b})^{c}=a^{(btimes c)}=a^{btimes c}.}

整数指数幂

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂

表达式a2=a⋅a{displaystyle a^{2}=acdot a}被称作a{displaystyle a}的平方，因为边长为a{displaystyle a}的正方形面积是a2{displaystyle a^{2}}。

表达式a3=a⋅a⋅a{displaystyle a^{3}=acdot acdot a}被称作a{displaystyle a}的立方，因为邊长为a{displaystyle a}的正方体体积是a3{displaystyle a^{3}}。

所以32{displaystyle 3^{2}}读作3的平方，23{displaystyle 2^{3}}读作2的立方。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如35=3×3×3×3×3=243{displaystyle 3^{5}=3times 3times 3times 3times 3=243}，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

an={1(n=0)a⋅an−1(n>0)(1a)−n(n<0){displaystyle a^{n}={begin{cases}1&(n=0)\acdot a^{n-1}&(n>0)\left({frac {1}{a}}right)^{-n}&(n<0)end{cases}}}

指数是1或者0

注意31{displaystyle 3^{1}}表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意35=3×34{displaystyle 3^{5}=3times 3^{4}}，34=3×33{displaystyle 3^{4}=3times 3^{3}}，33=3×32{displaystyle 3^{3}=3times 3^{2}}，32=3×31{displaystyle 3^{2}=3times 3^{1}}，

继续，得到31=3×30=3{displaystyle 3^{1}=3times 3^{0}=3}，所以30=1{displaystyle 3^{0}=1}

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则xnxm=xn−m{displaystyle {frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}

当m=n{displaystyle m=n}时，1=xnxn=xn−n=x0{displaystyle 1={frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}

• 任何数的1次方是它本身。

负数指数

我们定义任何不为0的数的-1次方等于它的倒数。

a−1=1a.{displaystyle a^{-1}={frac {1}{a}}.}

对于非零a{displaystyle a}定义a−n=1an{displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}}}}。因为当a=0{displaystyle a=0}时分母是0而没有意义。

这个定义是因为am⋅an=am+n{displaystyle a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}}，当m=−n{displaystyle m=-n}时

a−nan=a−n+n=a0=1,{displaystyle a^{-n},a^{n}=a^{-n,+,n}=a^{0}=1,}

因为a0{displaystyle a^{0}}已经定义了，所以a−n=1an{displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}}}}。

或者还可以像定义a{displaystyle a}的0次方一样定义：

通过运算法则xmxn=xm−n{displaystyle {frac {x^{m}}{x^{n}}}=x^{m-n}}

当m=0{displaystyle m=0}时，可以约去分子得x−n=x0−n=x0xn{displaystyle x^{-n}=x^{0-n}={frac {x^{0}}{x^{n}}}}

负数指数a−n{displaystyle a^{-n}}还可以表示成1连续除以n{displaystyle n}个a{displaystyle a}。比如：

3−4=13333=181=134{displaystyle 3^{-4}={frac {frac {frac {frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={frac {1}{81}}={frac {1}{3^{4}}}}.

特殊数的幂

10的幂

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：103=1000, 10−3=0.001{displaystyle 10^{3}=1000, 10^{-3}=0.001}

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 2.99792458×108{displaystyle 2.99792458times 10^{8}}，近似值 2.998×108{displaystyle 2.998times 10^{8}}.

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 103{displaystyle 10^{3}}，词头“毫”就是 10−3{displaystyle 10^{-3}}

2的幂

1的幂

1的任何次幂都为1

0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。^[1]但某些教科書表示0的0次方為無意義。^[2]也有人主張定義為1。

负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当a>1{displaystyle a>1}，n→∞{displaystyle nto infty }，an→∞{displaystyle a^{n}to infty }

当a<−1{displaystyle a<-1}，n→∞{displaystyle nto infty }，an→−∞{displaystyle a^{n}to -infty }

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当|a|<1{displaystyle |a|<1}，n→∞{displaystyle nto infty }，an→0{displaystyle a^{n}to 0}

1的幂永远都是1

当a=1{displaystyle a=1}，n→∞{displaystyle nto infty }，an→1{displaystyle a^{n}to 1}

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当n→∞,(1+1n)n→e{displaystyle nto infty ,left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}to e}

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 
  有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义


• 
  自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根

从上到下：x18, x14, x12, x1, x2, x4, x8{displaystyle x^{frac {1}{8}}, x^{frac {1}{4}}, x^{frac {1}{2}}, x^{1}, x^{2}, x^{4}, x^{8}}

一个数a{displaystyle a}的n{displaystyle n}次方根是x{displaystyle x}，x{displaystyle x}使xn=a{displaystyle x^{n}=a}。

如果a{displaystyle a}是一个正实数，n{displaystyle n}是正整数，那么方程xn=a{displaystyle x^{n}=a}只有一个正实数根。
这个根被称为a{displaystyle a}的n{displaystyle n}次方根，记作：an{displaystyle {sqrt[{n}]{a}}}，其中 {displaystyle {sqrt { }}}叫做根号。或者，a{displaystyle a}的n{displaystyle n}次方根也可以写成a1n{displaystyle a^{frac {1}{n}}}.
例如412=2, 813=2{displaystyle 4^{frac {1}{2}}=2, 8^{frac {1}{3}}=2}

当指数是12{displaystyle {frac {1}{2}}}时根号上的2可以省略，如：4=42=2{displaystyle {sqrt {4}}={sqrt[{2}]{4}}=2}

有理数幂

有理数指数通常可以理解成

amn=(am)1n=amn{displaystyle a^{frac {m}{n}}=(a^{m})^{frac {1}{n}}={sqrt[{n}]{a^{m}}}}

e的幂

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。
它是从以下极限定义的：

e=limn→∞(1+1n)n{displaystyle e=lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}}

指数函数的定义是：

ex=limn→∞(1+xn)n{displaystyle e^{x}=lim _{nto infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}}

可以很简单地证明e的正整数k次方ek{displaystyle e^{k}}是：

ek=[limn→∞(1+1n)n]k{displaystyle e^{k}=left[lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}right]^{k}}

=limn→∞[(1+1n)n]k{displaystyle =lim _{nto infty }left[left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}right]^{k}}

=limn→∞(1+kn⋅k)n⋅k{displaystyle =lim _{nto infty }left(1+{frac {k}{ncdot k}}right)^{ncdot k}}

=limn⋅k→∞(1+kn⋅k)n⋅k{displaystyle =lim _{ncdot kto infty }left(1+{frac {k}{ncdot k}}right)^{ncdot k}}

=limm→∞(1+km)m{displaystyle =lim _{mto infty }left(1+{frac {k}{m}}right)^{m}}

实数指数幂

y = b^x對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成^[3]：

bx=limr→xbr,{displaystyle b^{x}=lim _{rto x}b^{r},}

例如：

x≈1.732{displaystyle xapprox 1.732}

于是

5x≈51.732=5433250=5433250≈16.241{displaystyle 5^{x}approx 5^{1.732}=5^{frac {433}{250}}={sqrt[{250}]{5^{433}}}approx 16.241}

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数ln⁡x{displaystyle ln {x}}是指数函数ex{displaystyle e^{x}}的反函数。
它的定义是：对于任意b>0{displaystyle b>0}，满足

b=eln⁡b{displaystyle b=e^{ln b}}

根据对数和指数运算的规则：

bx=(eln⁡b)x=ex⋅ln⁡b{displaystyle b^{x}=(e^{ln b})^{x}=e^{xcdot ln b}}

这就是实数指数幂的定义：

bx=ex⋅ln⁡b{displaystyle b^{x}=e^{xcdot ln b},}

实数指数幂bx{displaystyle b^{x}}的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂

如果a{displaystyle a}是负数且n{displaystyle n}是偶数，那么xn=a{displaystyle x^{n}=a}无实数解。
如果a{displaystyle a}是负数且n{displaystyle n}是奇数，那么xn=a{displaystyle x^{n}=a}有一个负数解。

使用对数和有理数指数都不能将ak{displaystyle a^{k}}（其中a{displaystyle a}是负实数，k{displaystyle k}实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于amn{displaystyle a^{frac {m}{n}}}（n{displaystyle n}是奇数）可以使用n{displaystyle n}次方根来计算，但是因为没有实数x{displaystyle x}使x2=−1{displaystyle x^{2}=-1}，对于amn{displaystyle a^{frac {m}{n}}}（n{displaystyle n}是偶数）时必须使用虚数单位i{displaystyle i}。

使用对数的方法不能定义a≤0{displaystyle aleq 0}时的ak{displaystyle a^{k}}为实数。实际上，ex{displaystyle e^{x}}对于任何实数x{displaystyle x}都是正的，所以ln⁡(a){displaystyle ln(a)}对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数a{displaystyle a}因为它依赖于连续性。函数f(r)=ar{displaystyle f(r)=a^{r}}对于任何正的有理数a{displaystyle a}是连续的，但是对于负数a{displaystyle a}，函数f{displaystyle f}在有些有理数r{displaystyle r}上甚至不是连续的。

例如：当a=−1{displaystyle a=-1}，它的奇数次根等于-1。所以如果n{displaystyle n}是正奇数整数，−1mn=−1{displaystyle -1^{frac {m}{n}}=-1}当m{displaystyle m}是奇数，−1mn=1{displaystyle -1^{frac {m}{n}}=1}当m{displaystyle m}是偶数。虽然有理数q{displaystyle q}使−1q=1{displaystyle -1^{q}=1}的集合是稠密集，但是有理数q{displaystyle q}使−1q=−1{displaystyle -1^{q}=-1}的集合也是。所以函数−1q{displaystyle -1^{q}}在有理数域不是连续的。

正实数的复数幂

e的虚数次幂

指数函数e^z可以通过(1 + z/N)^N当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 + iπ/N)^N的准确值。可以看出，随着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解eix{displaystyle e^{ix}}（x{displaystyle x}是实数）。想象一个直角三角形(0,1,1+ixn){displaystyle (0,1,1+{frac {ix}{n}})}（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的n{displaystyle n}，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于xn{displaystyle {frac {x}{n}}}弧度。对于所有k{displaystyle k}，三角形(0,(1+ixn)k,(1+ixn)k+1){displaystyle (0,(1+{frac {ix}{n}})^{k},(1+{frac {ix}{n}})^{k+1})}互为相似三角形。所以当n{displaystyle n}足够大时(1+ixn)n{displaystyle (1+{frac {ix}{n}})^{n}}的极限是复数平面上的单位圆上x{displaystyle x}弧度的点。这个点的极坐标是(r,θ)=(1,x){displaystyle (r,theta )=(1,x)}，直角坐标是(cos⁡x,sin⁡x){displaystyle (cos x,sin x)}。所以eix=cos⁡x+isin⁡x{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x}。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式ez=1{displaystyle e^{z}=1}的解是一个整数乘以2iπ{displaystyle 2ipi }^[4]：

{z:ez=1}={2kπi:k∈Z}.{displaystyle {z:e^{z}=1}={2kpi i:kin mathbb {Z} }.}

更一般地，如果eb=a{displaystyle e^{b}=a}，那么ez=a{displaystyle e^{z}=a}的每一个解都可以通过将2iπ{displaystyle 2ipi }的整数倍加上b{displaystyle b}得到：

{z:ez=a}={b+2kπi:k∈Z}.{displaystyle {z:e^{z}=a}={b+2kpi i:kin mathbb {Z} }.}

这个复指数函数是一个有周期2iπ{displaystyle 2ipi }的周期函数。

更简单的：eiπ=−1; ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y){displaystyle e^{ipi }=-1; e^{x+iy}=e^{x}(cos y+isin y)}。

三角函数

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

cos⁡z=ei⋅z+e−i⋅z2sin⁡z=ei⋅z−e−i⋅z2⋅i{displaystyle cos z={frac {e^{icdot z}+e^{-icdot z}}{2}}qquad sin z={frac {e^{icdot z}-e^{-icdot z}}{2cdot i}}}

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

ei⋅(x+y)=ei⋅x⋅ei⋅y.{displaystyle e^{icdot (x+y)}=e^{icdot x}cdot e^{icdot y}.,}

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂

ex+iy{displaystyle e^{x+iy}}可以分解成ex⋅eiy{displaystyle e^{x}cdot e^{iy}}。其中ex{displaystyle e^{x}}是ex+iy{displaystyle e^{x+iy}}的模，eiy{displaystyle e^{iy}}决定了ex+iy{displaystyle e^{x+iy}}的方向

正实数的复数幂

如果a{displaystyle a}是一个正实数，z{displaystyle z}是任何复数，az{displaystyle a^{z}}定义成ez⋅ln⁡(a){displaystyle e^{zcdot ln(a)}}，其中x=ln⁡(a){displaystyle x=ln(a)}是方程ex=a{displaystyle e^{x}=a}的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

2i=ei⋅ln⁡(2)=cos⁡ln⁡2+i⋅sin⁡ln⁡2=0.7692+0.63896i{displaystyle 2^{i}=e^{icdot ln(2)}=cos {ln 2}+icdot sin {ln 2}=0.7692+0.63896i}

ei=0.54030+0.84147i{displaystyle e^{i}=0.54030+0.84147i}

10i=−0.66820+0.74398i{displaystyle 10^{i}=-0.66820+0.74398i}

(e2π)i=535.49i=1{displaystyle (e^{2pi })^{i}=535.49^{i}=1}

在函數中

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如f3(x){displaystyle f^{3}(x)}即f(f(f(x))){displaystyle f(f(f(x)))}。特別地，f−1(x){displaystyle f^{-1}(x)}指f(x){displaystyle f(x)}的反函數。

但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如：(sin⁡x)−1{displaystyle (sin x)^{-1}}表示csc⁡x{displaystyle csc x}。因此在三角函數時，使用sin−1⁡x{displaystyle sin ^{-1}x}來表示sin⁡x{displaystyle sin x}的反函數arcsin⁡x{displaystyle arcsin x}。

在抽象代數中

计算自然数（正整数）n{displaystyle n}的an{displaystyle a^{n}}的算法

最快的方式计算an{displaystyle a^{n}}，当n{displaystyle n}是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

偽代碼：

   1. 1 → y, n → k, a → f

   2.若k不為0,執行3至6

     3.若k為奇數, y * f → y

     4. k [[位操作#移位|右移]]1位（即k / 2 → k ,小數點無條件捨去）

     5. f * f → f

     6.回到2

   7.傳回y

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

   double power (double a, unsigned int n)

   {

        double y = 1;

        double f = a;

        unsigned int k = n;

        while (k != 0) {

           if (k % 2 == 1) y *= f;

           k >>= 1;

           f *= f;

        }

        return y;

   }

此算法的時間複雜度為O(log⁡n){displaystyle mathrm {O} (log n)!}，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為O(n){displaystyle mathrm {O} (n)!}），在n{displaystyle n}較大的時候更為顯著。

例如計算a100{displaystyle a^{100}}，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算an(n<0){displaystyle a^{n}(n<0)}可先以上述算法計算a|n|{displaystyle a^{|n|}}，再作倒數。

註釋

另見

• 迭代冪次

外部連結

• 指數的歷史