Agfdhyk

无穷级数

ζ(s)=∑k=1∞1ks{displaystyle zeta (s)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s}}}}

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查 论 编

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

定义

在数学上，对于一个在实数或复数a{displaystyle a}邻域上，以实数作为变量的函数或以复数作为变量的，并且是无穷可微的函数f(x){displaystyle f(x)}，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}

这里，n!{displaystyle n!}表示n{displaystyle n}的阶乘，而f(n)(a){displaystyle f^{(n)}(a),!}表示函数f{displaystyle f}在点a{displaystyle a}处的n{displaystyle n}阶导数。如果a=0{displaystyle a=0}，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

解析函數

柯西在1823年指出函數exp⁡(−1x2){displaystyle exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)}在x=0{displaystyle x=0}无法被解析。

如果泰勒级数对于区间(a−r,a+r){displaystyle (a-r,a+r)}中的所有x{displaystyle x}都收敛并且级数的和等于f(x){displaystyle f(x)}，那么我们就称函数f(x){displaystyle f(x)}为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的餘项，这样就能够确定级数是否收敛于f(x){displaystyle f(x)}。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：

1. 可以逐项对幂级数的计算微分和积分，因此求和函数相对比较容易。


2. 数学家因此能够在复数平面上研究函数，因为一个解析函数，也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。


3. 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数f(x){displaystyle f(x)}，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于f(x){displaystyle f(x)}。例如，分段函数f(x)=exp⁡(−1x2){displaystyle f(x)=exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)}，如果x≠0{displaystyle xneq 0}并且f(0)=0{displaystyle f(0)=0}，则x=0{displaystyle x=0}时所有的导数都为零，所以这个f(x){displaystyle f(x)}的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数f(x){displaystyle f(x)}仅在x=0{displaystyle x=0}处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当z{displaystyle z}沿虚轴趋于零，exp⁡(−1z2){displaystyle exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)}并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量x{displaystyle x}是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在x=0{displaystyle x=0}的时候，f(x)=exp⁡(−1x2){displaystyle f(x)=exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)}会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method（英语：Parker-Sochacki method）^[1]。用皮卡反覆運算便可以推导出这个方法。

常用的函数的麦克劳林序列

在复平面上餘弦函數的實數部分。

在复平面上餘弦函數的第八度逼近

兩個以上的曲線放在一起

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。当变量x{displaystyle x}是复数时，这些等式依然成立。

几何级数

几何级数

11−x=∑n=0∞xn∀x:|x|<1{displaystyle {frac {1}{1-x}}=sum _{n=0}^{infty }x^{n}quad forall x:left|xright|<1}

二项式定理

二项式定理

(1+x)α=∑n=0αC(α,n)xn∀x:|x|<1,∀α∈C{displaystyle (1+x)^{alpha }=sum _{n=0}^{alpha }C(alpha ,n)x^{n}quad forall x:left|xright|<1,forall alpha in mathbb {C} }

二项式展开中的C(α,n){displaystyle C(alpha ,n)}是二项式系数。

指数函数和自然对数

以e{displaystyle e}为底数的指数函数的麦克劳林序列是

ex=∑n=0∞xnn!∀x{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}quad forall x} （对所有X都成立）

以e{displaystyle e}为底数的自然对数的麦克劳林序列是

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1nxn∀x∈(−1,1]{displaystyle ln(1+x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}quad forall xin (-1,1]} （对于在区间(-1,1]内所有的X都成立）

三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：

sin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x33!+x55!−⋯∀xcos⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=1−x22!+x44!−⋯∀xtan⁡x=∑n=1∞B2n(−4)n(1−4n)(2n)!x2n−1=x+x33+2x515+⋯∀x:|x|<π2sec⁡x=∑n=0∞(−1)nE2n(2n)!x2n=1+x22+5x424+⋯∀x:|x|<π2arcsin⁡x=∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1=x+x36+3x540+⋯∀x:|x|≤1arccos⁡x=π2−arcsin⁡x=π2−∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1=π2−x−x36−3x540+⋯∀x:|x|≤1arctan⁡x=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1=x−x33+x55−⋯∀x:|x|≤1, x≠±i{displaystyle {begin{aligned}sin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots &&forall x\[6pt]cos x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots &&forall x\[6pt]tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots &&forall x:|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]sec x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots &&forall x:|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]arcsin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots &&forall x:|x|leq 1\[6pt]arccos x&={frac {pi }{2}}-arcsin x\&={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={frac {pi }{2}}-x-{frac {x^{3}}{6}}-{frac {3x^{5}}{40}}+cdots &&forall x:|x|leq 1\[6pt]arctan x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots &&forall x:|x|leq 1, xneq pm iend{aligned}}}

在tan(x){displaystyle tan(x)}展开式中的B_k是伯努利数。在sec(x){displaystyle sec(x)}展开式中的E_k是欧拉数。

双曲函数

双曲函数

sinh⁡x=∑n=0∞1(2n+1)!x2n+1∀x{displaystyle sinh x=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}quad forall x}

cosh⁡x=∑n=0∞1(2n)!x2n∀x{displaystyle cosh x=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n)!}}x^{2n}quad forall x}

tanh⁡x=∑n=1∞B2n4n(4n−1)(2n)!x2n−1∀x:|x|<π2{displaystyle tanh x=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}quad forall x:left|xright|<{frac {pi }{2}}}

sinh−1⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1∀x:|x|<1{displaystyle sinh ^{-1}x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}quad forall x:left|xright|<1}

tanh−1⁡x=∑n=0∞12n+1x2n+1∀x:|x|<1{displaystyle tanh ^{-1}x=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}quad forall x:left|xright|<1}

tanh⁡(x){displaystyle tanh(x)}展开式中的B_k是伯努利数。

朗伯W函数

朗伯W函数

W0(x)=∑n=1∞(−n)n−1n!xn∀x:|x|<1e{displaystyle W_{0}(x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}quad forall x:left|xright|<{frac {1}{e}}}

多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数：
∑n1=0∞⋯∑nd=0∞∂n1+⋯+nd∂x1n1⋯∂xdndf(a1,⋯,ad)n1!⋯nd!(x1−a1)n1⋯(xd−ad)nd{displaystyle sum _{n_{1}=0}^{infty }cdots sum _{n_{d}=0}^{infty }{frac {partial ^{n_{1}+cdots +n_{d}}}{partial x_{1}^{n_{1}}cdots partial x_{d}^{n_{d}}}}{frac {f(a_{1},cdots ,a_{d})}{n_{1}!cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}

历史

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。^[2].几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。^[3]

进入14世纪，马德哈瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）最早使用了泰勒级数以及相关的方法^[4]。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派（英语：Kerala school of astronomy and mathematics）在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒 ^[5] 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。
麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源

《自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五^[6]，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

差分

對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

Δh1[f](x)=f(x+h)−f(x)Δhn[f](x)=Δhn−1[f](x+h)−Δhn−1[f](x){displaystyle {begin{aligned}Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\Delta _{h}^{n}[f](x)&=Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-Delta _{h}^{n-1}[f](x)\end{aligned}}}

插值公式

牛頓插值公式為：

f(x)=f(a)+x−ah(Δh1[f](a)+x−a−h2h(Δh2[f](a)+⋯))=f(a)+∑k=1nΔhk[f](a)k!hk∏i=0k−1((x−a)−ih){displaystyle {begin{aligned}f(x)&=f(a)+{frac {x-a}{h}}left(Delta _{h}^{1}[f](a)+{frac {x-a-h}{2h}}left(Delta _{h}^{2}[f](a)+cdots right)right)\&=f(a)+sum _{k=1}^{n}{frac {Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\end{aligned}}}

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

(xk)=(x)kk!(x)k=x(x−1)(x−2)⋯(x−k+1){displaystyle {x choose k}={frac {(x)_{k}}{k!}}quad quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)cdots (x-k+1)}

是二項式係數，其中的(x)_k是“下降階乘冪”，空乘積(x)₀被定義為1。

無窮級數

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln⁡(1+x){displaystyle ln(1+x)}的無窮級數，在1666年得出了arcsin⁡(x){displaystyle arcsin(x)}和arctan⁡(x){displaystyle arctan(x)}的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了sin⁡(x){displaystyle sin(x)}、cos⁡(x){displaystyle cos(x)}、arcsin⁡(x){displaystyle arcsin(x)}和ex{displaystyle e^{x}}的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了sin⁡(x){displaystyle sin(x)}、cos⁡(x){displaystyle cos(x)}和arctan⁡(x){displaystyle arctan(x)}的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了有限差分方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於0{displaystyle 0}的極限，得出：

f(x)=f(a)+limh→0∑k=1∞Δhk[f](a)k!hk∏i=0k−1((x−a)−ih)=f(a)+∑k=1∞dkdxkf(a)(x−a)kk!{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=f(a)+lim _{hto 0}sum _{k=1}^{infty }{frac {Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\&=f(a)+sum _{k=1}^{infty }{frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){frac {(x-a)^{k}}{k!}}\end{aligned}}}

参考文献

參見

• 無窮級數


• 牛頓多項式


• 冪級數


• 光滑函數


• 帕德近似


• 泰勒公式