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在數學上，博雷爾求和（英语：Borel summation）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由埃米尔 博雷尔 (1899)提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。

定義

博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設A(z)是z的一個形式冪級數

A(z)=∑k=0∞akzk{displaystyle A(z)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}}，

則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數

BA(t)≡∑k=0∞akk!tk{displaystyle {mathcal {B}}A(t)equiv sum _{k=0}^{infty }{frac {a_{k}}{k!}}t^{k}}。

博雷爾指數求和

設A_n(z)為下列部分和：

An(z)=∑k=0nakzk{displaystyle A_{n}(z)=sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}。

博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為

limt→∞e−t∑n=0∞tnn!An(z){displaystyle lim _{trightarrow infty }e^{-t}sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)}。

若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z)，則稱A的弱博雷爾和收斂於z，並記為∑akzk=a(z)(wB){displaystyle {textstyle sum }a_{k}z^{k}=a(z),({boldsymbol {wB}})}.

博雷爾積分求和

假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則A的博雷爾和定義為

∫0∞e−tBA(tz)dt.{displaystyle int _{0}^{infty }e^{-t}{mathcal {B}}A(tz),dt.}

若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z)，則稱A的博雷爾和在z收斂，並記為 ∑akzk=a(z)(B){displaystyle {textstyle sum }a_{k}z^{k}=a(z),({boldsymbol {B}})}。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有t都收斂，只需在0附近收斂為t的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。

基本性質

正定性

(B)和(wB)兩者都是正定的求和法，意味着若A(z)收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：

∑k=0∞akzk=A(z)<∞⇒∑akzk=A(z)(B,wB){displaystyle sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}=A(z)<infty quad Rightarrow quad {textstyle sum }a_{k}z^{k}=A(z),,({boldsymbol {B}},,{boldsymbol {wB}})}。

(B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收斂，則

A(z)=∑k=0∞akzk=∑k=0∞ak(∫0∞e−ttkdt)zkk!=∫0∞e−t∑k=0∞ak(tz)kk!dt{displaystyle A(z)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}=sum _{k=0}^{infty }a^{k}left(int _{0}^{infty }e^{-t}t^{k}dtright){frac {z^{k}}{k!}}=int _{0}^{infty }e^{-t}sum _{k=0}^{infty }a_{k}{frac {(tz)^{k}}{k!}}dt}，

其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

博雷爾和與弱博雷爾和的等價性

對任意的級數A(z)，若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的，則必定是博雷爾可求和的。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

定理 （Hardy 1992，8.5）

設A(z) 是一個形式冪級數，並限定z ∈ C，則：

1. 若∑akzk=a(z)(wB){displaystyle {textstyle sum }a_{k}z^{k}=a(z),({boldsymbol {wB}})}，則∑akzk=a(z),(B){displaystyle {textstyle sum }a_{k}z^{k}=a(z),({boldsymbol {B}})}。


2. 若∑akzk=a(z)(B){displaystyle {textstyle sum }a_{k}z^{k}=a(z),({boldsymbol {B}})}，且limt→∞e−tBA(zt)=0{displaystyle lim _{trightarrow infty }e^{-t}{mathcal {B}}A(zt)=0}，則∑akzk=a(z)(wB){displaystyle {textstyle sum }a_{k}z^{k}=a(z),({boldsymbol {wB}})}。

與其他求和法的關聯

• (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。


• (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式，其中q→∞{displaystyle qrightarrow infty }。

^[1]

例子

幾何級數

考慮幾何級數

y(z)=∑k=0∞zk{displaystyle y(z)=sum _{k=0}^{infty }z^{k}}

當 |z| < 1時，收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為

By(t)≡∑k=0∞1k!tk=et{displaystyle {mathcal {B}}y(t)equiv sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}}

因此，上述級數的博雷爾和為

∫0∞e−tBy(tz)dt=∫0∞e−tetzdt=11−z{displaystyle int _{0}^{infty }e^{-t}{mathcal {B}}y(tz),dt=int _{0}^{infty }e^{-t}e^{tz},dt={frac {1}{1-z}}}

然而，這個積分能在更大的範圍 Re(z) <  1 內收斂到 1/(1 − z)，也就是原級數的和。

另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為A_N(z) = (1-z^N+1)/(1-z)，因此其弱博雷爾和為

limt→∞e−t∑n=0∞1−zn+11−ztnn!=limt→∞e−t1−z(et−zetz)=11−z{displaystyle lim _{trightarrow infty }e^{-t}sum _{n=0}^{infty }{frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{frac {t^{n}}{n!}}=lim _{trightarrow infty }{frac {e^{-t}}{1-z}}{big (}e^{t}-ze^{tz}{big )}={frac {1}{1-z}}}，

同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(z) < 1，

limt→∞e−t(BA)(zt)=et(z−1)=0{displaystyle lim _{trightarrow infty }e^{-t}({mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0}。

一個交替級數

級數

y(z)=∑k=0∞k!(−1⋅z)k{displaystyle y(z)=sum _{k=0}^{infty }k!left(-1cdot zright)^{k}}

對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為

By(t)≡∑k=0∞(−1⋅t)k=11+t{displaystyle {mathcal {B}}y(t)equiv sum _{k=0}^{infty }left(-1cdot tright)^{k}={frac {1}{1+t}}}

對任意的|t| < 1 都成立，且於  t ≥ 0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為

∫0∞e−tBy(tz)dt=∫0∞e−t1+tzdt=1z⋅e1z⋅Γ(0,1z){displaystyle int _{0}^{infty }e^{-t}{mathcal {B}}y(tz),dt=int _{0}^{infty }{frac {e^{-t}}{1+tz}},dt={frac {1}{z}}cdot e^{frac {1}{z}}cdot Gamma left(0,{frac {1}{z}}right)}

（其中Γ是指不完全Γ函數）

這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。

不滿足等價性的例子

以下是（Hardy 1992，8.5）所給出的例子的一個擴展。考慮

A(z)=∑k=0∞(∑l=0∞(−1)l(2l+2)k(2l+1)!)zk.{displaystyle A(z)=sum _{k=0}^{infty }left(sum _{l=0}^{infty }{frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}right)z^{k}.}

交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

BA(t)=∑l=0∞(∑k=0∞((2l+2)t)kk!)(−1)l(2l+1)!=∑l=0∞e(2l+2)t(−1)l(2l+1)!=et∑l=0∞(et)2l+1(−1)l(2l+1)!=etsin⁡(et).{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {B}}A(t)&=sum _{l=0}^{infty }left(sum _{k=0}^{infty }{frac {{big (}(2l+2)t{big )}^{k}}{k!}}right){frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\&=sum _{l=0}^{infty }e^{(2l+2)t}{frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\&=e^{t}sum _{l=0}^{infty }{big (}e^{t}{big )}^{2l+1}{frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\&=e^{t}sin left(e^{t}right).end{aligned}}}

在 z = 2 處，可求得博雷爾和為

∫0∞etsin⁡(e2t)dt=∫1∞sin⁡(u2)du=π8−S(1)<∞,{displaystyle int _{0}^{infty }e^{t}sin(e^{2t})dt=int _{1}^{infty }sin(u^{2})du={frac {sqrt {pi }}{8}}-S(1)<infty ,}

其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 z > 2發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

limt→∞e(z−1)tsin⁡(ezt)=0{displaystyle lim _{trightarrow infty }e^{(z-1)t}sin left(e^{zt}right)=0}

僅對 z < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

相關條目

• 發散級數


• 切薩羅求和


• 拉馬努金求和

參考文獻

• 
  Borel, E., Mémoire sur les séries divergentes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, 16: 9–131 
  


• 
  Glimm, James; Jaffe, Arthur, Quantum physics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 887102 
  


• 
  Hardy, Godfrey Harold, Divergent Series, New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620 
  


• 
  Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421 
  


• 
  Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988 
  


• 
  Weinberg, Steven, The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467