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  提示：本条目的主题不是柯西判別法。

在数学分析领域中、 柯西稠密测试（得名于法国数学家柯西），是一个应对无穷级数的收敛测试。

一般而言，一个单调递减、非负的实数序列 f(n){displaystyle f(n)}所对应的级数∑n=1∞f(n){displaystyle displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }f(n)}收敛当且仅当其“凝结”级数（英语：Condensed Series）∑n=0∞2nf(2n){displaystyle displaystyle sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})} 收敛。 且此极限（如果存在）满足以下不等式：

0 ≤ ∑n=1∞f(n) ≤ ∑n=0∞2nf(2n) ≤ 2∑n=1∞f(n) ≤ +∞{displaystyle 0 leq sum _{n=1}^{infty }f(n) leq sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n}) leq 2sum _{n=1}^{infty }f(n) leq +infty }

换言之，“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。

推导

要证明该方法的正确性，我们需要证明上面的不等式。

∑n=1∞f(n) ≤ ∑n=0∞2nf(2n) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n) leq sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n}) }

∑n=0∞2nf(2n) ≤ 2∑n=1∞f(n) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n}) leq 2sum _{n=1}^{infty }f(n) }

第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质（单调递减）。

∑n=1∞f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+⋯=f(1)+(f(2)+f(3))+(f(4)+f(5)+f(6)+f(7))+⋯≤f(1)+(f(2)+f(2))+(f(4)+f(4)+f(4)+f(4))+⋯=f(1)+2f(2)+4f(4)+⋯=∑n=0∞2nf(2n){displaystyle {begin{array}{rcccccccl}sum limits _{n=1}^{infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&cdots \&=&f(1)&+&{Big (}f(2)+f(3){Big )}&+&{Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){Big )}&+&cdots \&leq &f(1)&+&{Big (}f(2)+f(2){Big )}&+&{Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){Big )}&+&cdots \&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&cdots =sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})end{array}}}

相似地，第二个不等式也需要我们重新组合和替换。

∑n=0∞2nf(2n)=f(1)+(f(2)+f(2))+(f(4)+f(4)+f(4)+f(4))+⋯=(f(1)+f(2))+(f(2)+f(4)+f(4)+f(4))+⋯≤(f(1)+f(1))+(f(2)+f(2)+f(3)+f(3))+⋯=2∑n=1∞f(n){displaystyle {begin{array}{rcl}sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{Big (}f(2)+f(2){Big )}+{Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){Big )}+cdots \&=&{Big (}f(1)+f(2){Big )}+{Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){Big )}+cdots \&leq &{Big (}f(1)+f(1){Big )}+{Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){Big )}+cdots =2sum limits _{n=1}^{infty }f(n)end{array}}}

註釋

• Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.

外部連結

• Cauchy condensation test proof