反正切
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| 反正切 | |
 | |
| 性質 | |
| 奇偶性 | 奇函数 |
| 定義域 | 實數集 |
| 到達域 | [−π2,π2]{displaystyle [-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}]}![[-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc480741da18128936a24486e90845e818ee6ff) |
| 周期 | N/A |
| 特定值 | |
| 當x=0 | 0 |
| 當x=+∞ | π2{displaystyle {frac {pi }{2}}} |
| 當x=-∞ | −π2{displaystyle -{frac {pi }{2}}} |
| 其他性質 | |
| 渐近线 | y=±π2{displaystyle y=pm {frac {pi }{2}}} |
| 根 | 0 |
| 拐點 | 原點 |
反正切（arctangent、arctan{displaystyle arctan }
由於反正切函數的定義為求已知對邊和鄰邊的角度值，剛好可以視為直角坐標系的x座標與y座標，根據斜率的定義，反正切函數可以用來求出平面上已知斜率的直線與座標軸的夾角。
反正切函數經常記為tan−1{displaystyle tan ^{-1}}
目录
1 定義
1.1 直角坐标系中
1.2 级数定义
2 性質
3 恆等式
3.1 和差
4 Atan2
5 參考文獻
6 參見
定義
原始的定義是將正切函數限制在[0,π]{displaystyle [0,pi ]}![[0,pi ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
在複變分析中，反正切是這樣定義的：
- arctanx=i2ln(i+xi−x){displaystyle arctan x={frac {mathrm {i} }{2}}ln left({frac {{mathrm {i} }+x}{{mathrm {i} }-x}}right),}
這個動作使反正切被推廣到複數。
拓展到複數的反正切函數
直角坐标系中
在直角坐標系中，反正切函數可以視為已知平面上直線斜率的傾角
级数定义
反正切函數可利用泰勒展開式來求得級數的定義
反正切函數的泰勒展開式為：
- ∀x∈[−1,1]arctan(x)=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1=x−13x3+15x5−17x7+⋯{displaystyle forall xin [-1,1]quad mathrm {arctan} (x)=sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{frac {1}{3}}x^{3}+{frac {1}{5}}x^{5}-{frac {1}{7}}x^{7}+cdots }
![{displaystyle forall xin [-1,1]quad mathrm {arctan} (x)=sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{frac {1}{3}}x^{3}+{frac {1}{5}}x^{5}-{frac {1}{7}}x^{7}+cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3385465219696eff1fb4e5a231e063e94fcabe)
當|x|≤1{displaystyle left|xright|leq 1}
- π4=1−13+15−17+−…{displaystyle {frac {pi }{4}}=1-{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-{frac {1}{7}}+-ldots }
更精確的寫法是梅欽類公式
- π4=4arctan15−arctan1239{displaystyle {frac {pi }{4}}=4mathrm {arctan} {frac {1}{5}}-mathrm {arctan} {frac {1}{239}}}
性質
由於反正切函數是一個奇函數，因此滿足下面等式：
- arctan(−x)=−arctanx{displaystyle arctan(-x)=-arctan x!}
反正切函數的微分導數為：
- arctan′x=11+x2{displaystyle {rm {arctan}}'x={frac {1}{1+x^{2}}}}
- arctan″x=−2x(1+x2)2{displaystyle {rm {arctan}}''x={frac {-2x}{left(1+x^{2}right)^{2},}}}
- arctan‴x=6x2−2(1+x2)3{displaystyle {rm {arctan}}'''x={frac {;6x^{2}-2;}{left(1+x^{2}right)^{3},}}}
- arctan⁗x=−24x3+24x(1+x2)4{displaystyle {rm {arctan}}''''x={frac {;-24x^{3}+24x;}{;left(1+x^{2}right)^{4},}}}
- ⋯.{displaystyle cdots qquad .}
恆等式
和差
arctanx±arctany=arctanx±y1∓xy,xy<1{displaystyle arctan ,xpm arctan ,y=arctan ,{frac {xpm y}{1mp xy}},xy<1}（+）、xy>−1{displaystyle xy>-1}
（－）
arctanx±arctany=π±arctanx±y1∓xy,x>0,xy>1{displaystyle arctan ,xpm arctan ,y=pi pm arctan ,{frac {xpm y}{1mp xy}},x>0,xy>1}（+）、x>0,xy<−1{displaystyle x>0,xy<-1}
（－）
arctanx±arctany=−π±arctanx±y1∓xy,x<0,xy>1{displaystyle arctan ,xpm arctan ,y=-pi pm arctan ,{frac {xpm y}{1mp xy}},x<0,xy>1}（+）、x<0,xy<−1{displaystyle x<0,xy<-1}
（－）
Atan2
在三角函數中，atan2是反正切函數的一個變種，有兩個變數，主要是提供給計算機编程語言一個簡便的角度計算方式，其定義為：
- atan2(y,x)={arctan(yx)x>0arctan(yx)+πy≥0,x<0arctan(yx)−πy<0,x<0+π2y>0,x=0−π2y<0,x=0undefinedy=0,x=0{displaystyle operatorname {atan2} (y,x)={begin{cases}arctan left({frac {y}{x}}right)&qquad x>0\arctan left({frac {y}{x}}right)+pi &qquad ygeq 0,x<0\arctan left({frac {y}{x}}right)-pi &qquad y<0,x<0\+{frac {pi }{2}}&qquad y>0,x=0\-{frac {pi }{2}}&qquad y<0,x=0\{text{undefined}}&qquad y=0,x=0end{cases}}}
參考文獻
^ Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent
^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
^ Connue des anglophones sous le nom de "formule de Gregory" ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava au quatorzième siècle ; voir l'article de la Wikipedia anglophone pourplus de détails
- 埃里克·韦斯坦因. Inverse Tangent. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Machin-Like Formulas. MathWorld.
參見
- 正切
- 餘切
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