Agfdhyk

自然对数（英语：Natural logarithm）為以e為底數的对数函数，標記作ln(x){displaystyle ln(x)}或loge(x){displaystyle log_{e}(x)}，其反函数為指數函數ex{displaystyle e^{x}}。

数学表示方法

自然对数的一般表示方法為ln⁡x{displaystyle ln x!}，數學中亦有以log⁡x{displaystyle log x!}表示自然對數。 ^[1] 若要避免與底為10的常用對數log⁡x{displaystyle log x!}混淆，可用「全寫」logex{displaystyle log_{boldsymbol {e}}x}。

歷史

約翰·納皮爾在1614年^[3]以及Jost Bürgi在6年後^[4]，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念，直到1742年William Jones才發表了現在的冪指數概念^[5]。按後世的觀點，Jost Bürgi的底數1.0001¹⁰⁰⁰⁰相當接近自然對數的底數e{displaystyle e}，而約翰·納皮爾的底數0.9999999^10000000相當接近1e{displaystyle {frac {1}{e}}}^[6]。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法^[7]於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如f(x)=xp{displaystyle f(x)=x^{p}}的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況p=−1{displaystyle p=-1}對應於雙曲線的弓形面積（英语：Quadrature (mathematics)），即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）給出^[8]，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積（英语：The Quadrature of the Parabola）），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）將對數聯繫於雙曲線xy=1{displaystyle xy=1}的弓形面積，他發現x軸上[a,b]{displaystyle [a,b]}兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同[c,d]{displaystyle [c,d]}對應的扇形，在ab=cd{displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}}時面積相同，這指出了雙曲線從x=1{displaystyle x=1}到x=t{displaystyle x=t}的積分f(t){displaystyle f(t)}滿足^[9]：

f(tu)=f(t)+f(u).{displaystyle f(tu)=f(t)+f(u).,}

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將11+x{displaystyle {frac {1}{1+x}}}展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中^[10]，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為^[11][12]：

ex=limn→∞(1+xn)n,{displaystyle e^{x}=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n},}

ln⁡(x)=limn→∞n(x1n−1){displaystyle ln(x)=lim _{nrightarrow infty }nleft(x^{frac {1}{n}}-1right)}

形式定義

歐拉定義自然對數為序列的極限：

ln⁡(x)=limn→∞n(x1n−1).{displaystyle ln(x)=lim _{nrightarrow infty }nleft(x^{frac {1}{n}}-1right).}

ln⁡(a){displaystyle ln(a)}正式定義為積分，

ln⁡(a)=∫1a1xdx.{displaystyle ln(a)=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx.}

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b).{displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b).,!}

這可以通過將定義了ln⁡(ab){displaystyle ln(ab)}的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元x=ta{displaystyle x=ta}來證實:

ln⁡(ab)=∫1ab1xdx=∫1a1xdx+∫aab1xdx=∫1a1xdx+∫1b1atd(at){displaystyle ln(ab)=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}};dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}};dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{1}^{b}{frac {1}{at}};d(at)}

=∫1a1xdx+∫1b1tdt=ln⁡(a)+ln⁡(b).{displaystyle =int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{1}^{b}{frac {1}{t}};dt=ln(a)+ln(b).}

冪公式ln⁡(t′)=rln⁡(t){displaystyle ln(t')=rln(t)}可如下推出:

ln⁡(tr)=∫1tr1xdx=∫1t1urd(ur)=∫1t1ur(rur−1du)=r∫1t1udu=rln⁡(t).{displaystyle ln(t^{r})=int _{1}^{t^{r}}{frac {1}{x}}dx=int _{1}^{t}{frac {1}{u^{r}}}dleft(u^{r}right)=int _{1}^{t}{frac {1}{u^{r}}}left(ru^{r-1},duright)=rint _{1}^{t}{frac {1}{u}},du=rln(t).}

第二個等式使用了換元u=x1r{displaystyle u=x^{frac {1}{r}}}。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

ln⁡(x)=−limϵ→0∫ϵ∞dtt(e−xt−e−t).{displaystyle ln(x)=-lim _{epsilon to 0}int _{epsilon }^{infty }{frac {dt}{t}}left(e^{-xt}-e^{-t}right).}

性質

• ln⁡(1)=∫111tdt=0{displaystyle ln(1)=int _{1}^{1}{frac {1}{t}},dt=0,}


• ln⁡(−1)=iπ{displaystyle ln(-1)=ipi ,}

(參見複數對數)

• ln⁡(x)<ln⁡(y)for0<x<y{displaystyle ln(x)<ln(y)quad {rm {for}}quad 0<x<y,}


• limx→0ln⁡(1+x)x=1{displaystyle lim _{xto 0}{frac {ln(1+x)}{x}}=1,}


• ln⁡(xy)=yln⁡(x){displaystyle ln(x^{y})=y,ln(x),}


• x−1x≤ln⁡(x)≤x−1forx>0{displaystyle {frac {x-1}{x}}leq ln(x)leq x-1quad {rm {for}}quad x>0,}


• ln⁡(1+xα)≤αxforx≥0,α≥1{displaystyle ln {(1+x^{alpha })}leq alpha xquad {rm {for}}quad xgeq 0,alpha geq 1,}

證明
limh→0ln⁡(1+h)h=limh→0ln⁡(1+h)−ln⁡1h=ddxln⁡x|x=1=1{displaystyle lim _{hto 0}{frac {ln(1+h)}{h}}=lim _{hto 0}{frac {ln(1+h)-ln 1}{h}}={frac {d}{dx}}ln x{Bigg |}_{x=1}=1}

導數

自然對數的導數為

ddxln⁡(x)=1x.{displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)={frac {1}{x}}.,}

證明一 （微積分第一基本定理）:ddxln⁡(x)=ddx∫1x1tdt=1x{displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)={frac {d}{dx}}int _{1}^{x}{frac {1}{t}},dt={frac {1}{x}}}

證明二: 按此影片

ddxln⁡(x)=limh→0ln⁡(x+h)−ln⁡(x)h{displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)=lim _{hto 0}{frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}}}

=limh→0ln⁡(x+hx)h{displaystyle =lim _{hto 0}{frac {ln({frac {x+h}{x}})}{h}}}

=limh→0[1hln⁡(1+hx)]{displaystyle =lim _{hto 0}left[{frac {1}{h}}ln left(1+{frac {h}{x}}right)right]quad }

=limh→0ln⁡(1+hx)1h{displaystyle =lim _{hto 0}ln left(1+{frac {h}{x}}right)^{frac {1}{h}}}

设 u=hx⇒ux=h{displaystyle u={frac {h}{x}}Rightarrow ux=h}

1h=1ux{displaystyle {frac {1}{h}}={frac {1}{ux}}}

ddxln⁡(x)=limu→0ln⁡(1+u)1ux{displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)=lim _{uto 0}ln(1+u)^{frac {1}{ux}}}

=limu→0ln⁡[(1+u)1u]1x{displaystyle =lim _{uto 0}ln left[(1+u)^{frac {1}{u}}right]^{frac {1}{x}}}

=1xlimu→0ln⁡(1+u)1u{displaystyle ={frac {1}{x}}lim _{uto 0}ln(1+u)^{frac {1}{u}}}

设 n=1u⇒u=1n{displaystyle n={frac {1}{u}}Rightarrow u={frac {1}{n}}}

ddxln⁡(x)=1xlimn→∞ln⁡(1+1n)n{displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)={frac {1}{x}}lim _{nto infty }ln left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}}

=1xln⁡[limn→∞(1+1n)n]{displaystyle ={frac {1}{x}}ln left[lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}right]}

=1xln⁡e{displaystyle ={frac {1}{x}}ln e}

=1x{displaystyle ={frac {1}{x}}}

用自然對數定義的更一般的對數函數，logb⁡(x)=ln⁡(x)ln⁡(b){displaystyle log _{b}(x)={frac {ln(x)}{ln(b)}}}，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為^[13][14]：

ddxlogb⁡(x)=1xln⁡(b).{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}(x)={frac {1}{xln(b)}}.}

根據鏈式法則，以f(x){displaystyle f(x)}為參數的自然對數的導數為

ddxln⁡[f(x)]=f′(x)f(x).{displaystyle {frac {d}{dx}}ln[f(x)]={frac {f'(x)}{f(x)}}.}

右手端的商叫做f{displaystyle f}的對數導數（英语：logarithmic derivative），通過ln⁡(f(x)){displaystyle ln(f(x))}的導數的方法計算f′(x){displaystyle f'(x)}叫做對數微分^[15]。

冪級數

自然對數的導數性質導致了ln⁡(1+x){displaystyle ln(1+x)}在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1nxn=x−x22+x33−⋯{displaystyle ln(1+x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdots }

對於所有|x|≤1,{displaystyle left|xright|leq 1,} 但不包括x=−1.{displaystyle x=-1.}

把x−1{displaystyle x-1}代入x{displaystyle x}中，可得到ln⁡(x){displaystyle ln(x)}自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何x{displaystyle x}有效的如下級數:

ln⁡xx−1=∑n=1∞1nxn=1x+12x2+13x3+⋯.{displaystyle ln {x over {x-1}}=sum _{n=1}^{infty }{1 over {nx^{n}}}={1 over x}+{1 over {2x^{2}}}+{1 over {3x^{3}}}+cdots ,.}

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到xx−1{displaystyle x over {x-1}}是自身的逆函數，所以要生成特定數y{displaystyle y}的自然對數，簡單把xx−1{displaystyle x over {x-1}}代入x{displaystyle x}中。

ln⁡x=∑n=1∞1n(x−1x)n=(x−1x)+12(x−1x)2+13(x−1x)3+⋯{displaystyle ln {x}=sum _{n=1}^{infty }{1 over {n}}left({x-1 over x}right)^{n}=left({x-1 over x}right)+{1 over 2}left({x-1 over x}right)^{2}+{1 over 3}left({x-1 over x}right)^{3}+cdots ,}

對於Re⁡(x)≥12.{displaystyle quad operatorname {Re} (x)geq {frac {1}{2}},.}

自然數的倒數的總和

1+12+13+⋯+1n=∑k=1n1k,{displaystyle 1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots +{frac {1}{n}}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}},}

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當n{displaystyle n}趨於無窮的時候，差

∑k=1n1k−ln⁡(n),{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}-ln(n),}

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。^[16]

積分

自然對數通過分部積分法積分:

∫ln⁡(x)dx=xln⁡(x)−x+C.{displaystyle int ln(x),dx=xln(x)-x+C.}

假設:

u=ln⁡(x)⇒du=dxx{displaystyle u=ln(x)Rightarrow du={frac {dx}{x}}}

dv=dx⇒v=x{displaystyle dv=dxRightarrow v=x,}

所以:

∫ln⁡(x)dx=xln⁡(x)−∫xxdx=xln⁡(x)−∫1dx=xln⁡(x)−x+C{displaystyle {begin{aligned}int ln(x),dx&=xln(x)-int {frac {x}{x}},dx\&=xln(x)-int 1,dx\&=xln(x)-x+Cend{aligned}}}

自然對數可以簡化形如g(x)=f′(x)f(x){displaystyle g(x)={frac {f'(x)}{f(x)}}}的函數的積分：g(x){displaystyle g(x)}的一個原函數給出為ln⁡(|f(x)|){displaystyle ln(leftvert f(x)rightvert )}。這是基於鏈式法則和如下事實:

 ddxln⁡|x|=1x.{displaystyle {d over dx}ln left|xright|={1 over x}.}

換句話說，

∫1xdx=ln⁡|x|+C{displaystyle int {1 over x}dx=ln |x|+C}

且

∫f′(x)f(x)dx=ln⁡|f(x)|+C.{displaystyle int {{frac {f'(x)}{f(x)}},dx}=ln |f(x)|+C.}

例子

下面是g(x)=tan⁡x{displaystyle g(x)=tan x}的例子：

∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫−ddxcos⁡xcos⁡xdx.{displaystyle {begin{aligned}int tan x,dx&=int {sin x over cos x},dx\&=int {-{d over dx}cos x over {cos x}},dx.\end{aligned}}}

設f(x)=cos⁡x{displaystyle f(x)=cos x}且f′(x)=−sin⁡x{displaystyle f'(x)=-sin x}：

∫tan⁡xdx=−ln⁡|cos⁡x|+C=ln⁡|sec⁡x|+C{displaystyle {begin{aligned}int tan x,dx&=-ln {left|cos xright|}+C\&=ln {left|sec xright|}+C\end{aligned}}}

與雙曲函數的關係

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數^[17]，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積^[18]。對數函數是在直角雙曲線xy=1{displaystyle xy=1}下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y=x{displaystyle y=x}上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u{displaystyle u}，在漸近線即x或y軸上需要有的x{displaystyle x}或y{displaystyle y}的值。顯見這裡的底邊是(eu+e−u)22{displaystyle left(e^{u}+e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}}，垂線是(eu−e−u)22{displaystyle left(e^{u}-e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}}。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• cosh⁡x=ex+e−x2{displaystyle cosh x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}


• sinh⁡x=ex−e−x2{displaystyle sinh x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線xy=1{displaystyle xy=1}下雙曲角的12{displaystyle {frac {1}{2}}}。

連分數

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

ln⁡(1+x)=x11−x22+x33−x44+x55−⋯=x1−0x+12x2−1x+22x3−2x+32x4−3x+42x5−4x+⋱{displaystyle {begin{aligned}ln(1+x)&={frac {x^{1}}{1}}-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-{frac {x^{4}}{4}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots \&={cfrac {x}{1-0x+{cfrac {1^{2}x}{2-1x+{cfrac {2^{2}x}{3-2x+{cfrac {3^{2}x}{4-3x+{cfrac {4^{2}x}{5-4x+ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}

ln⁡(1+xy)=xy+1x2+1x3y+2x2+2x5y+3x2+⋱=2x2y+x−(1x)23(2y+x)−(2x)25(2y+x)−(3x)27(2y+x)−⋱{displaystyle {begin{aligned}ln left(1+{frac {x}{y}}right)&={cfrac {x}{y+{cfrac {1x}{2+{cfrac {1x}{3y+{cfrac {2x}{2+{cfrac {2x}{5y+{cfrac {3x}{2+ddots }}}}}}}}}}}}\&={cfrac {2x}{2y+x-{cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為2=1.253×1.024{displaystyle 2=1.25^{3}times 1.024}，2的自然對數可以計算為:

ln⁡2=3ln⁡(1+14)+ln⁡(1+3125)=69−1227−2245−3263−⋱+6253−32759−621265−921771−⋱.{displaystyle {begin{aligned}ln 2&=3ln left(1+{frac {1}{4}}right)+ln left(1+{frac {3}{125}}right)\&={cfrac {6}{9-{cfrac {1^{2}}{27-{cfrac {2^{2}}{45-{cfrac {3^{2}}{63-ddots }}}}}}}}+{cfrac {6}{253-{cfrac {3^{2}}{759-{cfrac {6^{2}}{1265-{cfrac {9^{2}}{1771-ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}

進而，因為10=1.2510×1.0243{displaystyle 10=1.25^{10}times 1.024^{3}}，10的自然對數可以計算為:

ln⁡10=10ln⁡(1+14)+3ln⁡(1+3125)=209−1227−2245−3263−⋱+18253−32759−621265−921771−⋱.{displaystyle {begin{aligned}ln 10&=10ln left(1+{frac {1}{4}}right)+3ln left(1+{frac {3}{125}}right)\&={cfrac {20}{9-{cfrac {1^{2}}{27-{cfrac {2^{2}}{45-{cfrac {3^{2}}{63-ddots }}}}}}}}+{cfrac {18}{253-{cfrac {3^{2}}{759-{cfrac {6^{2}}{1265-{cfrac {9^{2}}{1771-ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}

複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數x{displaystyle x}得出複數值為ex{displaystyle e^{x}}的函數，只需要簡單使用x{displaystyle x}為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在x{displaystyle x}使得ex=0{displaystyle e^{x}=0}；並且有著e2πi=1=e0{displaystyle e^{2pi i}=1=e^{0}}。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，ez=ez+2nπi{displaystyle e^{z}=e^{z+2npi i}}，對於所有複數z{displaystyle z}和整數n{displaystyle n}。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加2πi{displaystyle 2pi i}的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，ln⁡i=12πi{displaystyle ln i={frac {1}{2}}pi i}或52πi{displaystyle {frac {5}{2}}pi i}或−32πi{displaystyle -{frac {3}{2}}pi i}等等；儘管i4=1{displaystyle i^{4}=1}，4log=i{displaystyle 4log =i}不能定義為2πi{displaystyle 2pi i}或10πi{displaystyle 10pi i}或−6πi{displaystyle -6pi i}，以此類推。

• 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖


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  z = Re(ln(x+iy))
  

  
  

  
  


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  前三圖的疊加
  

  
  

  
  

主值定義

對於每個非0複數z=x+yi{displaystyle z=x+yi}，主值log⁡z{displaystyle log z}是虛部位於區間(−π,π]{displaystyle (-pi ,pi ]}內的對數。表達式log⁡0{displaystyle log 0}不做定義，因為沒有複數w{displaystyle w}滿足ew=0{displaystyle e^{w}=0}。

要對log⁡z{displaystyle log z}給出一個公式，可以先將z{displaystyle z}表達為極坐標形式，z=reiθ{displaystyle z=re^{itheta }}。給定z{displaystyle z}，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向θ{displaystyle theta }增加2π{displaystyle 2pi }的整數倍，所以為了保證唯一性而要求θ{displaystyle theta }位於區間(−π,π]{displaystyle (-pi ,pi ]}內；這個θ{displaystyle theta }叫做幅角的主值，有時寫為arg⁡z{displaystyle operatorname {arg} z}或atan⁡2(y,x){displaystyle operatorname {atan} 2(y,x)}。則對數的主值可以定義為^[19] ：

Log⁡z:=ln r+iθ=ln⁡|z|+iArg⁡z=ln⁡x2+y2+iatan2⁡(y,x).{displaystyle operatorname {Log} z:={text{ln }}r+itheta =ln |z|+ioperatorname {Arg} z=operatorname {ln} {sqrt {x^{2}+y^{2}}}+ioperatorname {atan2} (y,x).}

例如，log⁡(−3i)=ln⁡3−πi2{displaystyle log(-3i)=ln 3-{frac {pi i}{2}}}。

常見科学用法

自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目N{displaystyle N}随时间变化率dNdt=−pN{displaystyle {frac {dN}{dt}}=-pN}，常数p{displaystyle p}为原子衰变概率，积分得N(t)=N(0)exp⁡(−pt){displaystyle N(t)=N(0)exp(-pt)}。

註釋與引用

參考

• 
  John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.


• 
  Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.


• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.


• Donald Sarason, Complex function theory, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.


• 
  E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.